Como a taxa de subida varia com a densidade / altitude de pressão?

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Estou procurando escrever um pequeno aplicativo para a Web ou telefone que possa me ajudar a escolher a melhor altitude de cruzeiro com base nos ventos no ar. Sei que o Garmin Pilot (e provavelmente o Foreflight) tem um seletor de altitude de cruzeiro, mas eles não parecem levar em consideração o tempo / combustível extra necessário para chegar a grandes altitudes. Eu estou olhando para fazer uma calculadora que leva isso em consideração.

Percebo que as fórmulas reais para taxa de subida, distância de decolagem, distância de aterrissagem etc. são bastante complexas, mas não preciso gerá-las do zero. O que pretendo fazer é começar com os gráficos na seção de desempenho do POH para uma aeronave em particular... insira a descrição da imagem aqui ... e encontre alguns valores conhecidos para a taxa de subida para determinadas pressões / temperaturas / pesos e use o ajuste de curva para criar fórmulas simples que ainda estão dentro de alguns por cento do que eu obteria com esses gráficos.

Obviamente, para ser o mais preciso possível, seria melhor saber, grosso modo, como a taxa de subida varia de acordo com a pressão-altitude, densidade-altitude, peso, etc. Alguns dos ajustes (por exemplo, peso) parecem ser bastante linear (pelo menos no domínio dos valores de interesse para nós), enquanto outros parecem ter alguma curva ... então talvez eles variem como $ b ^ {- x} $, $ \ frac {1} {x} $, $ x ^ 2 $, $ log (x) $ ...?

Alguém sabe a maneira geral pela qual a taxa de subida varia com esses fatores? (Rodada de bônus: você pode fazer o mesmo nas distâncias de decolagem e aterrissagem, no caso de eu querer fazer uma calculadora para aqueles?)

por Jemenake 21.02.2018 / 21:11

2 respostas

Para aeronaves a hélice, a taxa de subida é uma função de

  • energia disponível
  • poder exigido
  • peso
  • densidade do ar
  • elevador de asa

Cinco variáveis, e a sustentação da asa é em si uma função do número Mach, número de Reynolds, área AoA e área da asa. A potência disponível é uma função da densidade do ar, ajuste do acelerador, incidência da hélice - potência demandada em função da velocidade do ar, densidade do ar, ângulo de ataque, números de Mach & Reynolds. Portanto, no total, uma matriz muito grande de variáveis ​​independentes - para encontrar equações por meio de uma análise, teremos que fazer algumas suposições e simplificações. Por exemplo, o vetor de impulso da aeronave permanece razoavelmente horizontal, de modo que $ T \ cdot sin (\ Gamma) $ seja próximo de zero e possa ser desconsiderado. Além disso, esse levantamento = peso durante a subida.

Para uma subida constante, a equação do peso passa a ser $$ W = C_L \ cdot \ frac {1} {2} \ rho V ^ 2 \ cdot S \ Rightarrow V = \ sqrt {\ frac {W} {S} \ cdot \ frac {2} {\ rho} \ cdot \ frac {1} {C_L}} \ tag {1} $$

Para o arrasto no vôo horizontal:

$$ D_h = C_D \ cdot \ frac {1} {2} \ rho V ^ 2 \ cdot S = \ frac {C_D} {C_L} \ cdot W \ tag {2} $$

e a potência necessária no vôo horizontal $ (P_r) _h $ se torna:

$$ (P_r) _h = D_h \ cdot V = W \ cdot \ sqrt {\ frac {W} {S} \ cdot \ frac {2} {\ rho} \ cdot \ frac {{C_D} ^ 2} {{ C_L} ^ 3}} \ tag {3} $$

A potência necessária para manter a velocidade de subida $ C $ é $ W \ cdot C $ e a potência disponível $ P_a = (P_r) _h + W \ cdot C $, portanto:

$$ C = \ frac {P_a - (P_r) _h} {W} = \ frac {P_C} {W} \ tag {4} $$
Combinar (3) e (4):

$$ C = \ frac {P_a - (P_r) _h} {W} = \ frac {P_a} {W} - \ sqrt {\ frac {W} {S} \ cdot \ frac {2} {\ rho} \ cdot \ frac {{C_D} ^ 2} {{C_L} ^ 3}} = \ frac {\ eta \ cdot P_ {br}} {W} - \ sqrt {\ frac {W} {S} \ cdot \ frac {2} {\ rho} \ cdot \ frac {{C_D} ^ 2} {{C_L} ^ 3}} \ tag {5} $$

insira a descrição da imagem aqui

A figura acima mostra um gráfico de $ P_ {br} $ do P&W Wasp: função da pressão e altitude do coletor. Este motor tinha um turbocompressor para melhorar o desempenho da altitude, os motores das aeronaves GA podem não ter esses. Gráficos de hélices de passo variável mostram uma eficiência da hélice de $ \ eta $ de cerca de 0.8.

Como isso se encaixa no gráfico mostrado no OP:

  • As equações apresentam densidade do ar $ \ rho $. Esta é uma função da pressão estática e da temperatura: uma equação para converter em pressão estática e vice-versa pode ser encontrada aqui.
  • A energia disponível para um motor de pistão normalmente aspirado diminui em função da altitude, aproximadamente de acordo com $ \ frac {({P_ {br}}) _ h} {({P_ {br}}) _ o} = (1 + c) \ frac {\ rho_h} {\ rho_o} $. Testes em alguns motores de pistão americanos mostraram que, para muitos deles, seria apropriado um valor de $ C $ = 0.132, consulte a figura abaixo, que também mostra a função altitude-potência de um motor de pistão com compressor.

insira a descrição da imagem aqui

Todas as referências e imagens de um livro de aula da universidade, apenas cópia em papel.

22.02.2018 / 08:32

O taxa de subida depende do excesso de poder disponível após a subtração do arrasto do empuxo líquido. Se o avião permanecer no mesmo ponto polar durante a escalada, ele precisará acelerar para compensar a diminuição da densidade do ar. Portanto, além do arrasto, esse trabalho de aceleração precisa ser subtraído antes que o impulso restante possa ser usado para escalar.

Primeiro vamos esclarecer os termos:

Forças e seus ângulos atuando em uma aeronave de escalada em vista lateral

x $ _g $, y $ _g $, z $ _g $: sistema de coordenadas fixas na Terra
x $ _f $, y $ _f $, z $ _f $: sistema de coordenadas fixo por avião
x $ _k $, y $ _k $, z $ _k $: sistema de coordenadas cinéticas em que x é a direção do movimento
L $ \; \; $: elevação
D $ \; \; $: Arrastar
T $ \; \; $: Impulso
m $ \; \: $: massa
$ \ alpha \; \; $: ângulo de ataque (entre os eixos x dos sistemas de coordenadas fixas e cinéticas do avião)
$ \ gamma \; \; $: ângulo da trajetória de voo (entre os eixos x dos sistemas de coordenadas fixas à terra e cinéticas)
$ \ sigma \; \: $: ângulo de empuxo em relação ao sistema de coordenadas fixas do avião
$ v _ {\ infty} $: velocidade no ar

O ponto polar deve ser aquele para velocidade de subida ideal. Há também um para ângulo de subida ideal, mas essa simplificação é justificada. Também ajuda a facilitar a matemática, uma vez que as aeronaves a hélice escalam melhor no ponto polar, onde é necessária energia mínima para manter o vôo. Isso está em $$ c_L = \ sqrt {3 \ cdot c_ {D0} \ cdot AR \ cdot \ pi \ cdot \ epsilon} $$ com
$ c_L \; \; $: eleva o coeficiente
$ c_ {D0} $: coeficiente de arrasto com elevação zero
$ AR $: proporção da asa
$ \ epsilon \; \; $: fator de eficiência da asa

O coeficiente de arrasto de levantamento zero das aeronaves a hélice é de cerca de 0.025 a 0.04, com o alto valor para aeronaves de engrenagem fixa e menor para aqueles com engrenagem retrátil. Aumenta ligeiramente com a altitude devido à diminuição do número de Reynolds devido à queda de temperatura. Aqui você precisa escolher um valor que seja apropriado para cada aeronave específica.

Permanecer no mesmo ponto polar também significa que o peso influenciará apenas a velocidade na qual a aeronave alcança melhor, não o coeficiente de sustentação. A velocidade $ v $ mudará com a raiz quadrada da diferença de peso, porque $$ v = \ sqrt {\ frac {m \ cdot g} {\ frac {\ rho} {2} \ cdot S_ {ref} \ cdot c_L}} $$ com $ S_ {ref} $ sendo a área de referência da aeronave e $ \ rho $ a densidade do ar.

Ao lado do termo de correção $ C $ para aceleração. Depende da velocidade local do som, da constante de gás para o ar úmido $ R_h $ e do gradiente de temperatura (taxa de lapso $ \ Gamma $) da atmosfera. Esta resposta explica em detalhes como é calculado e repito aqui apenas o resultado para condições atmosféricas padrão: $$ C = 1 - 0.13335 \ cdot Ma ^ 2 + \ frac {(1 + 0.2 \ cdot Ma ^ 2) ^ {3.5} -1} { (1 + 0.2 \ cdot Ma ^ 2) ^ {2.5}} $$ com $ Ma $ sendo a razão entre a velocidade do vôo e a velocidade local do som.

Agora sua velocidade de subida $ v_z $ se torna $$ v_z = \ frac {v} {C} \ cdot sin \ gama = \ frac {v} {C} \ cdot \ frac {T \ cdot cos (\ sigma) -D} {m \ cdot g} = \ frac {P \ cdot \ eta_ {prop} \ cdot cos (\ sigma) - D \ cdot v} {C \ cdot m \ cdot g} $$ com $ \ eta_ {Prop} $ a eficiência da hélice e $ P $ a potência do freio do motor na altitude e na configuração do acelerador especificadas.

Isso deixa várias variáveis ​​desconhecidas para calcular corretamente a taxa de subida:

  • Poder do motor
  • coeficiente de resistência aerodinâmica para aeronave
  • eficiência da hélice

Portanto, será melhor procurar as possíveis velocidades de subida em várias altitudes e configurações de potência de cada POH e interpolar entre esses valores. Ou você aceita uma aproximação e usa valores de regra de ouro para os parâmetros desconhecidos.

  • por $ \ epsilon $ assume o 0.8
  • para $ \ sigma $ assuma zero
  • para $ c_ {D0} $ assume 0.026 em baixa e 0.03 em alta altitude para marcha retraída e 0.035 em baixa e 0.04 em baixa altitude e XNUMX em alta altitude para marcha fixa.
  • para $ D $ use $ \ left (c_ {D0} + \ frac {c_L ^ 2} {AR \ cdot \ pi \ cdot \ epsilon} \ right) \ cdot \ frac {\ rho \ cdot v ^ 2 \ cdot S_ {ref}} {2} $
  • para $ \ eta_ {Prop} $ use 0.75 para um passo fixo e 0.8 para um suporte de velocidade constante.
  • para motores normalmente aspirados, reduz a potência proporcionalmente à densidade. Para motores turboalimentados, assuma a potência constante até sua altura crítica e reduza a potência na proporção da densidade acima dela. Permita que os usuários do seu programa definam eles mesmos a configuração do acelerador.

Onde você tiver gráficos de desempenho disponíveis, compare seus resultados com os números publicados e ajuste as variáveis ​​para obter um bom ajuste. Por exemplo, observe a velocidade ideal de subida publicada e ajuste $ c_ {D0} $ até que seu resultado, obtido do coeficiente de elevação ideal, concorde. E assim por diante. Isso deve fornecer resultados muito úteis.

22.02.2018 / 16:14