Como a taxa de subida varia com a densidade / altitude de pressão?

Para aeronaves a hélice, a taxa de subida é uma função de

• energia disponível
• poder exigido
• peso
• densidade do ar
• elevador de asa

Cinco variáveis, e a sustentação da asa é em si uma função do número Mach, número de Reynolds, área AoA e área da asa. A potência disponível é uma função da densidade do ar, ajuste do acelerador, incidência da hélice - potência demandada em função da velocidade do ar, densidade do ar, ângulo de ataque, números de Mach & Reynolds. Portanto, no total, uma matriz muito grande de variáveis ​​independentes - para encontrar equações por meio de uma análise, teremos que fazer algumas suposições e simplificações. Por exemplo, o vetor de impulso da aeronave permanece razoavelmente horizontal, de modo que $ T \ cdot sin (\ Gamma) $ seja próximo de zero e possa ser desconsiderado. Além disso, esse levantamento = peso durante a subida.

Para uma subida constante, a equação do peso passa a ser $$ W = C_L \ cdot \ frac {1} {2} \ rho V ^ 2 \ cdot S \ Rightarrow V = \ sqrt {\ frac {W} {S} \ cdot \ frac {2} {\ rho} \ cdot \ frac {1} {C_L}} \ tag {1} $$

Para o arrasto no vôo horizontal:

$$ D_h = C_D \ cdot \ frac {1} {2} \ rho V ^ 2 \ cdot S = \ frac {C_D} {C_L} \ cdot W \ tag {2} $$

e a potência necessária no vôo horizontal $ (P_r) _h $ se torna:

$$ (P_r) _h = D_h \ cdot V = W \ cdot \ sqrt {\ frac {W} {S} \ cdot \ frac {2} {\ rho} \ cdot \ frac {{C_D} ^ 2} {{ C_L} ^ 3}} \ tag {3} $$

A potência necessária para manter a velocidade de subida $ C $ é $ W \ cdot C $ e a potência disponível $ P_a = (P_r) _h + W \ cdot C $, portanto:

$$ C = \ frac {P_a - (P_r) _h} {W} = \ frac {P_C} {W} \ tag {4} $$
Combinar (3) e (4):

$$ C = \ frac {P_a - (P_r) _h} {W} = \ frac {P_a} {W} - \ sqrt {\ frac {W} {S} \ cdot \ frac {2} {\ rho} \ cdot \ frac {{C_D} ^ 2} {{C_L} ^ 3}} = \ frac {\ eta \ cdot P_ {br}} {W} - \ sqrt {\ frac {W} {S} \ cdot \ frac {2} {\ rho} \ cdot \ frac {{C_D} ^ 2} {{C_L} ^ 3}} \ tag {5} $$

A figura acima mostra um gráfico de $ P_ {br} $ do P&W Wasp: função da pressão e altitude do coletor. Este motor tinha um turbocompressor para melhorar o desempenho da altitude, os motores das aeronaves GA podem não ter esses. Gráficos de hélices de passo variável mostram uma eficiência da hélice de $ \ eta $ de cerca de 0.8.

Como isso se encaixa no gráfico mostrado no OP:

• As equações apresentam densidade do ar $ \ rho $. Esta é uma função da pressão estática e da temperatura: uma equação para converter em pressão estática e vice-versa pode ser encontrada aqui.
• A energia disponível para um motor de pistão normalmente aspirado diminui em função da altitude, aproximadamente de acordo com $ \ frac {({P_ {br}}) _ h} {({P_ {br}}) _ o} = (1 + c) \ frac {\ rho_h} {\ rho_o} $. Testes em alguns motores de pistão americanos mostraram que, para muitos deles, seria apropriado um valor de $ C $ = 0.132, consulte a figura abaixo, que também mostra a função altitude-potência de um motor de pistão com compressor.

Todas as referências e imagens de um livro de aula da universidade, apenas cópia em papel.

O taxa de subida depende do excesso de poder disponível após a subtração do arrasto do empuxo líquido. Se o avião permanecer no mesmo ponto polar durante a escalada, ele precisará acelerar para compensar a diminuição da densidade do ar. Portanto, além do arrasto, esse trabalho de aceleração precisa ser subtraído antes que o impulso restante possa ser usado para escalar.

Primeiro vamos esclarecer os termos:

x $ _g $, y $ _g $, z $ _g $: sistema de coordenadas fixas na Terra
x $ _f $, y $ _f $, z $ _f $: sistema de coordenadas fixo por avião
x $ _k $, y $ _k $, z $ _k $: sistema de coordenadas cinéticas em que x é a direção do movimento
L $ \; \; $: elevação
D $ \; \; $: Arrastar
T $ \; \; $: Impulso
m $ \; \: $: massa
$ \ alpha \; \; $: ângulo de ataque (entre os eixos x dos sistemas de coordenadas fixas e cinéticas do avião)
$ \ gamma \; \; $: ângulo da trajetória de voo (entre os eixos x dos sistemas de coordenadas fixas à terra e cinéticas)
$ \ sigma \; \: $: ângulo de empuxo em relação ao sistema de coordenadas fixas do avião
$ v _ {\ infty} $: velocidade no ar

O ponto polar deve ser aquele para velocidade de subida ideal. Há também um para ângulo de subida ideal, mas essa simplificação é justificada. Também ajuda a facilitar a matemática, uma vez que as aeronaves a hélice escalam melhor no ponto polar, onde é necessária energia mínima para manter o vôo. Isso está em $$ c_L = \ sqrt {3 \ cdot c_ {D0} \ cdot AR \ cdot \ pi \ cdot \ epsilon} $$ com
$ c_L \; \; $: eleva o coeficiente
$ c_ {D0} $: coeficiente de arrasto com elevação zero
$ AR $: proporção da asa
$ \ epsilon \; \; $: fator de eficiência da asa

O coeficiente de arrasto de levantamento zero das aeronaves a hélice é de cerca de 0.025 a 0.04, com o alto valor para aeronaves de engrenagem fixa e menor para aqueles com engrenagem retrátil. Aumenta ligeiramente com a altitude devido à diminuição do número de Reynolds devido à queda de temperatura. Aqui você precisa escolher um valor que seja apropriado para cada aeronave específica.

Permanecer no mesmo ponto polar também significa que o peso influenciará apenas a velocidade na qual a aeronave alcança melhor, não o coeficiente de sustentação. A velocidade $ v $ mudará com a raiz quadrada da diferença de peso, porque $$ v = \ sqrt {\ frac {m \ cdot g} {\ frac {\ rho} {2} \ cdot S_ {ref} \ cdot c_L}} $$ com $ S_ {ref} $ sendo a área de referência da aeronave e $ \ rho $ a densidade do ar.

Ao lado do termo de correção $ C $ para aceleração. Depende da velocidade local do som, da constante de gás para o ar úmido $ R_h $ e do gradiente de temperatura (taxa de lapso $ \ Gamma $) da atmosfera. Esta resposta explica em detalhes como é calculado e repito aqui apenas o resultado para condições atmosféricas padrão: $$ C = 1 - 0.13335 \ cdot Ma ^ 2 + \ frac {(1 + 0.2 \ cdot Ma ^ 2) ^ {3.5} -1} { (1 + 0.2 \ cdot Ma ^ 2) ^ {2.5}} $$ com $ Ma $ sendo a razão entre a velocidade do vôo e a velocidade local do som.

Agora sua velocidade de subida $ v_z $ se torna $$ v_z = \ frac {v} {C} \ cdot sin \ gama = \ frac {v} {C} \ cdot \ frac {T \ cdot cos (\ sigma) -D} {m \ cdot g} = \ frac {P \ cdot \ eta_ {prop} \ cdot cos (\ sigma) - D \ cdot v} {C \ cdot m \ cdot g} $$ com $ \ eta_ {Prop} $ a eficiência da hélice e $ P $ a potência do freio do motor na altitude e na configuração do acelerador especificadas.

Isso deixa várias variáveis ​​desconhecidas para calcular corretamente a taxa de subida:

• Poder do motor
• coeficiente de resistência aerodinâmica para aeronave
• eficiência da hélice

Portanto, será melhor procurar as possíveis velocidades de subida em várias altitudes e configurações de potência de cada POH e interpolar entre esses valores. Ou você aceita uma aproximação e usa valores de regra de ouro para os parâmetros desconhecidos.

• por $ \ epsilon $ assume o 0.8
• para $ \ sigma $ assuma zero
• para $ c_ {D0} $ assume 0.026 em baixa e 0.03 em alta altitude para marcha retraída e 0.035 em baixa e 0.04 em baixa altitude e XNUMX em alta altitude para marcha fixa.
• para $ D $ use $ \ left (c_ {D0} + \ frac {c_L ^ 2} {AR \ cdot \ pi \ cdot \ epsilon} \ right) \ cdot \ frac {\ rho \ cdot v ^ 2 \ cdot S_ {ref}} {2} $
• para $ \ eta_ {Prop} $ use 0.75 para um passo fixo e 0.8 para um suporte de velocidade constante.
• para motores normalmente aspirados, reduz a potência proporcionalmente à densidade. Para motores turboalimentados, assuma a potência constante até sua altura crítica e reduza a potência na proporção da densidade acima dela. Permita que os usuários do seu programa definam eles mesmos a configuração do acelerador.

Onde você tiver gráficos de desempenho disponíveis, compare seus resultados com os números publicados e ajuste as variáveis ​​para obter um bom ajuste. Por exemplo, observe a velocidade ideal de subida publicada e ajuste $ c_ {D0} $ até que seu resultado, obtido do coeficiente de elevação ideal, concorde. E assim por diante. Isso deve fornecer resultados muito úteis.