Meu palpite é que "açúcar branco úmido" se entende literalmente - isto é, açúcar branco que não está completamente seco.
O açúcar branco granulado começa úmido e é seco como a última etapa do processo de produção moderno. Na época, o açúcar era vendido em "pães", que podiam ser cortados em pedaços ou mais finamente moídos, em vez do processo de convecção de ar quente usado atualmente. A secagem provavelmente seria vista como importante para o açúcar granulado servido em uma tigela de açúcar com chá, mas não importaria que o açúcar fosse usado no cozimento - exceto que isso afetaria o peso.
Então, adivinhe, você gostaria de misturar um pouco de água com açúcar até que se juntasse um pouco e usar meio quilo do resultado.