Desconhecido, mas acho que não.
Não me lembro de nenhuma decisão sobre isso em canon, nem posso lembrar de alguém que tivesse mais de um animal de estimação ao mesmo tempo. Eu também dei uma olhada nas listas de animais de estimação em sites de fãs; Não encontrei ninguém com mais de um animal de estimação.
Isso sugere que você provavelmente está limitado a um animal de estimação de cada vez (se não por regras, por praticidade).
Como parte do Pottermore , você pode visitar o Eeeekops Owl Emporium & Menagerie mágica. Se você tiver um bichinho de estimação e tentar comprar um segundo, receberá um aviso:
Sorry, you can't buy another pet. Only one toad, cat or owl allowed per person.
Dado que o texto corresponde à carta de Hogwarts, e Pottermore é considerado canônico, isso pode ser visto como uma confirmação tácita de que vários animais de estimação não são permitidos.