É James Dalton.
O nome pode ser visto claramente em seu prontuário, onde está escrito como Dalton James.
Abaixo está o YouTube da cena do hospital a partir do qual a imagem é capturada.
Wikipedia artigo do filme também diz o mesmo.
Não é dito em nenhuma parte, explicitamente, no filme que seu primeiro nome é James. Está confirmado na sequência Road House 2 e, claro, na cena do hospital.
A sequel, Road House 2, was released directly to DVD in July 2006. Set many years later and telling the story of Dalton's adult son, it featured no one from the original cast and only a few references to Dalton (who was reportedly shot dead before the film took place). The sequel confirmed that Dalton's first name was James, which could be seen momentarily on the medical chart in the original film's hospital scene, but which had been otherwise unstated.