Não. Você não pode usar dual wield Ataques desarmados, porque eles não são considerados uma arma leve. Dito isso, eu não acredito que seria uma quebra de jogo para houserule dessa forma.
No entanto, em qualquer caso, você não pode usar luta de duas armas e artes marciais do Monk no mesmo turno , porque cada um usa uma ação de bônus, e você só recebe uma ação de bônus por virar. Portanto, o seu exemplo de "tri-wielding" com um ataque de quarterstaff, um ataque desarmado desarmado e, em seguida, um bônus de Artes Marciais Unarmed Strike não seria possível, porque exigiria duas ações de bônus para retirar.
Combate com duas armas:
When you take the Attack action and attack with a light melee weapon that you're holding in one hand, you can use a bonus action to attack with a different light melee weapon that you're holding in your other hand.
Artes marciais:
When you use the Attack action with an unarmed strike or a monk weapon on your turn, you can make one unarmed strike as a bonus action.
Note que a habilidade de Artes Marciais de Monge faz permitir que o Monge efetivamente faça Dupla Atos Desarmados, já que eles podem atacar desarmado como sua principal ação de Ataque e como sua ação de bônus. E ao contrário do combate normal com duas armas, eles recebem o bônus em seu dano no ataque bônus também.