Como Dale M corretamente aponta, a probabilidade de um fumble na verdade diminui para pools suficientemente grandes. Isto é porque você só pode se atrapalhar quando não tiver sucesso, e com um grande número de dados, o sucesso se tornará extremamente provável.
Aqui está um simples programa AnyDice para calcular a taxa de fumble para vários números de destino e tamanhos de pool:
function: roll ROLL:s target TARGET:n {
if (ROLL >= TARGET) { result: 1 } \ success \
if (ROLL = 1) >= 2 { result: -1 } \ fumble \
result: 0 \ failure \
}
loop T over {6..8} {
\ optimization: use a custom d10 that can only roll 1 (fumble?), 2 (no success) or 10 (success) \
DIE: {1, 2:(T-2), 10:(10-T+1)}
loop N over {2..10} {
output [roll NdDIE target T] named "[N]d10 vs. [T] (-1 = fumble, 0 = fail, 1 = success)"
}
}
(A única parte não óbvia deste programa, além do truque geral para " congelar "dados em AnyDice , passando-os para uma função como uma seqüência, então que podemos examinar o resultado de um rolo específico, é o uso de um dado personalizado para "reclassificar" os lados do d10 Esta é estritamente uma otimização, o programa daria exatamente os mesmos resultados com Nd10 em vez de NdDIE , mas seria muito mais lento e provavelmente expiraria a menos que você reduza o tamanho máximo do conjunto.)
Este programa fornece as seguintes probabilidades de erro para vários números de destino e tamanhos de conjuntos:
Pool | vs. 6 | vs. 7 | vs. 8
------+-------+-------+-------
2d10 | 1.00% | 1.00% | 1.00%
3d10 | 1.30% | 1.60% | 1.90%
4d10 | 1.13% | 1.71% | 2.41%
5d10 | 0.82% | 1.52% | 2.55%
6d10 | 0.54% | 1.23% | 2.43%
7d10 | 0.33% | 0.92% | 2.17%
8d10 | 0.19% | 0.66% | 1.85%
9d10 | 0.11% | 0.46% | 1.52%
10d10 | 0.06% | 0.31% | 1.21%
A razão pela qual isso não corresponde exatamente aos números de Dale é que sua fórmula parece ter um erro; especificamente, conta duplamente os casos em que um acaba rolando mais que dois (e nenhum sucesso).
A fórmula correta pode ser derivada calculando primeiro a probabilidade de não ter sucesso em qualquer jogada, que é simplesmente:
$$ P ({\ rm fail}) = \ left (\ frac {T - 1} {10} \ right) ^ N $$
em que \ $ N \ $ é o número de dados lançados e \ $ T \ $ é o número alvo. Agora, dado que um não teve sucesso (ou seja, todas as jogadas são menores que \ $ T \ $), o probabilidade condicional de um fumble é igual à probabilidade de rolar 2 ou mais em \ $ N {\ rm d} (T-1) \ $. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de lançar 0 ou 1 em \ $ N {\ rm d} (T-1) \ $, ou seja:
$$ P {{\ rm fumble} \ mid {\ rm falhar}) = 1 - \ left (\ frac {T-2} {T-1} \ right) ^ N - \ frac {N} { T-1} \ times \ left (\ frac {T-2} {T-1} \ right) ^ {N-1} $$
Combinando isso, conseguimos:
$$ \ begin {align} P ({\ fm fumble}) & = P ({\ rm fumble} \ mid {\ rm fail}) \ vezes P ({\ rm fail}) \\ & = \ left ( 1 - \ left (\ frac {T-2} {T-1} \ right) ^ N - \ frac {N} {T-1} \ vezes \ left (\ frac {T-2} {T-1} \ right) ^ {N-1} \ right) \ times \ left (\ frac {T - 1} {10} \ right) ^ N \ end {align} $$
que, de fato, produz números correspondentes aos resultados do AnyDice.