Meu familiar pode usar o bônus de ataque de duas armas para fazer seu próprio ataque?

Não.

Se você tem níveis suficientes de Lutador, você recebe mais de um ataque da sua Ação de Ataque, então pode perder um para deixar seu ataque Familiar e usar o resto sozinho.

Recurso Extra Attack do Fighter: (PBR 25)

Beginning at 5th level, you can attack twice, instead of once, whenever you take the Attack action on your turn.

Mas, combates com duas armas não dão ataques extras como parte de uma Ação de Ataque , ela te dá um ataque como Ação de Bônus. E você não recebe aquela Ação de Bônus a menos que você ataque com sua outra mão primeiro.

Combate com Duas Armas: (PBR 74)

When you take the Attack action and attack with a light melee weapon that you’re holding in one hand, you can use a bonus action to attack with a different light melee weapon that you’re holding in the other hand.

Ações bônus: (PBR 69)

You can take a bonus action only when a special ability, spell, or other feature of the game states that you can do something as a bonus action. You otherwise don’t have a bonus action to take.

(As citações são de Regras básicas do jogador v0.2)

Não, você não pode fazer isso. Assim como ele diz, você pode abrir mão de um dos seus próprios ataques para permitir que seu familiar faça um ataque quando você executar a ação Attack , não quando você usar uma ação bônus para atacar com uma luta com duas armas.

Combates com duas armas não permitem que você faça um ataque extra com a ação Attack - ela permite que você faça um ataque extra com uma ação bônus. É uma ação separada e seu familiar só pode substituir ataques feitos com a ação Attack.

Agora, isso pode ser considerado como sendo fraco, ou min / maxy, mas o que você pode fazer (o que é quase equivalente) é tomar a ação Attack como sua ação completa e renunciar a isso ataque para permitir que seu familiar ataque, mas, desde que você tomou a ação de Ataque, você pode usar sua ação de bônus para atacar com sua segunda arma de improviso. Então funciona bem parecido, só que seu balanço real é com sua segunda arma, não a primeira.