Posso solicitar a carteira de motorista dos EUA ao visitar por um par de meses com o visto J-1?

Tecnicamente, você poderia, mas não em todos os estados. Do site da Imigração e Alfândega dos EUA :

Who is eligible for a driver’s license or ID?

Any F, M or J nonimmigrant in lawful status may apply for a driver’s license or ID card, per state or territorial law. The nonimmigrant must present necessary supporting documents required to verify legal presence in the United States. For a list of required documents, see What documentation must a nonimmigrant present to the DMV? [...]

[...]

When can a nonimmigrant apply for a driver’s license or ID?

Please be aware of the following timing requirements before applying for a driver’s license or ID:

• The Student and Exchange Visitor Information System (SEVIS) record must be in Active status when an F, M or J nonimmigrant applies for a benefit. A nonimmigrant with a record in any other status will not have success applying for a benefit.

• Wait at least ten calendar days from the date of entry into the United States before applying for a driver’s license or ID to allow time for arrival data processing. [...]

• Wait at least two federal business days from the activation date in SEVIS to apply for a driver’s license or ID to ensure that the nonimmigrant’s Active status updates in all relevant databases.

• Several states require that a nonimmigrant have at least six months left on the Form I-20, “Certificate of Eligibility for Nonimmigrant Student Status,” or Form DS-2019, “Certificate of Eligibility for Exchange Visitor (J-1) Status,” to be eligible for a driver’s license. Either consult with the state or territory’s DMV or visit its website to see if this is a requirement.

No seu caso, até o último ponto: você precisa de pelo menos 6 meses de permanência no seu visto no estado em que mora?

EDITAR: Para descobrir se você precisa da validade de 6 meses no seu visto, basta entrar em contato com o DMV local ou ligar para o Departamento de Estado dos Serviços de Condutores da IL:

• Springfield: 217-782-6212
• Chicago: 312-814-2975

Anecdotalmente, este fórum postagens alude que você faça precisa da validade de 6 meses.

Para Illinois, informações sobre a carteira de motorista para imigrantes com status de residente permanente ou um visto de não-imigrante estão disponíveis aqui . As condições relevantes para o seu status parecem ser:

• Are an alien lawfully admitted for permanent or temporary residence
• Have a valid, unexpired nonimmigrant visa or nonimmigrant visa status

Para obter uma carteira de motorista de Illinois, você deve:

• Visit a Driver Services Facility, show your identification, and have your photo taken; To find the Driver Services Facility near you, see the Secretary of State Facility Finder;
• Pass the vision, written, and driving tests;
• Pay the Fee.

Este site também fornece informações relevantes e uma lista dos documentação que deve ser fornecida. Observe que dois documentos comprovando a residência devem ser fornecidos.

Nenhum desses sites parece listar um período mínimo de residência.

Você não precisa de uma carteira de motorista se estiver apenas visitando por alguns meses.

Uma carteira de motorista internacional serve e, na maioria das vezes, a carteira de motorista do seu país é tudo o que você precisa para alugar um carro. A carteira de motorista internacional é apenas uma tradução da sua carteira de motorista em um monte de outras línguas, e deve ser apresentada com a licença real.