O check-in deve ser feito sempre com a companhia aérea operando o primeiro voo, mesmo no caso de codeshare, então aqui está a Jet Airways. Se você aparecer na mesa da United, eles podem aceitar seu check-in ou, mais provavelmente, redirecioná-lo para a mesa da Jet.
Não sei o que você quer dizer com "companhias aéreas parceiras", mas vejo que a Jet não é membro da Star Alliance. Portanto, você e / ou sua bagagem só poderão ser verificadas em Londres. Isso deve ficar evidente depois que você concluir o check-in em Mumbai e receber o cartão de embarque e a etiqueta de bagagem:
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Se você não receber um cartão de embarque para o seu voo Londres-Newark, terá que fazer o check-in novamente em Londres (desta vez, no balcão da United, visto que eles operam o voo Londres-Newark)
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Da mesma forma, se a sua etiqueta de bagagem mencionar apenas o voo Mumbai-Londres, você terá que recolhê-lo em Londres e verificar novamente.
Suponho que, se você fizer o check-in, sua bagagem também estará, mas sei que o inverso não é necessariamente verdadeiro (ou seja, é possível que sua bagagem seja despachada até o fim, mas não você, aconteceu comigo apenas este mês, embora com diferentes companhias aéreas).