Posso atacar com a mão do Bigby enquanto luto com a mão do Bigbys?

Não

O texto da Mão do Bigby é explícito ( ênfase minha ):

...

When you cast the spell and as a bonus action on your subsequent turns, you can move the hand up to 60 feet and then cause one of the following effects with it.

...

Ele não diz que você pode manter os anteriores, apenas que você pode causar um dos efeitos. Portanto, a interpretação aqui deve ser que, se você escolher um efeito diferente, qualquer efeito anterior termina quando o novo efeito é iniciado.

Sim, desde que a mão não se mova.

Não há nenhuma ação envolvida na manutenção de uma garra, por isso, seria livre para agir em turnos subsequentes. No entanto, se o mago afastasse a mão da criatura agarrada, a garra terminaria.

Da condição de garras:

The condition also ends if an effect removes the grappled creature from the reach of the grappler or grappling effect.

O feitiço afirma que o lançador move a mão, a mão não se move sozinha, então mover a mão terminaria com a garra.