Você vai querer evitar qualquer lugar úmido, já que a umidade é um inimigo do papelão. Então, um porão que não é seco seria uma má escolha. Os ratos não procuram seu papelão, a menos que haja comida nele. Eles podem mastigá-lo e usá-lo para o material de nidificação, caso ocorram, mas não farão com que a procura de papelão seja uma parte importante do dia.
Eu tenho papelão no sótão da minha garagem há mais de 5 anos, sem problemas. Eu moro em NY, verões tão quentes (80-90F) e invernos frios (0-20F). A garagem é separada e não é condicionada, por isso, experimenta dias quentes e úmidos no verão e frio intenso no inverno.
O papelão é bastante resistente e durará bastante se for mantido seco. Então, em qualquer lugar que esteja fora do seu caminho e seco, seria um ótimo lugar para armazená-lo.