Não
Um feitiço faz o dano que diz que faz. No caso do Burning Hands, ele diz que faz 3d6, então faz 3d6.
Existem algumas exceções: a escola de Evocação para Feiticeiros permite que você adicione seu modificador de conjurador aos danos de feitiços de evocação, e certos domínios de Clérigo permitem que você adicione seu modificador de conjurador ao dano causado pelas viagens de canário. Há uma invocação que permite que um Warlock adicione seu modificador de conjurador ao dano causado por Eldritch Blast. O Feiticeiro Sangue-Dragão pode adicionar seu modificador de conjurador a magias que causam dano elemental que corresponde ao seu tipo de linhagem.
Fora destes, porém, a única razão pela qual um feitiço adicionaria seu modificador de conjurador ao dano é se ele disser que sim. Não tenho conhecimento de nenhuma mágica que faça isso atualmente.