O multi-ataque é uma ação, então a vara do tentáculo não impediria ataques múltiplos.
Os jogadores também recebem multiataques (não apenas monstros). O lutador recebe Extra Attack no 5º nível. A descrição da funcionalidade da classe indica:
Beginning at 5th level, you can attack twice, instead of once, whenever you take the Attack action on your turn. (from the PHB, pg 72)
Multiattack funciona da mesma maneira para monstros como o Extra Attack faz para os jogadores (em termos de economia de ação). Leva apenas uma ação e não é dividida entre a ação e a ação de bônus. É por isso que o jogo é muito fácil de executar. Você obtém regras muito gerais que se aplicam a muitas instâncias do jogo. Somente se houver uma exceção explicitamente declarada em uma regra, você a quebra.
Em relação ao exemplo 2 da sua pergunta:
A Bandit Captain has multi-attack where the MM basically takes dual wielding and combines it into a single action. The second attack would normally take a bonus action from a PC, but no such statement is made for the Bandit Captain. (from your question)
Monstros e personagens de jogadores são projetados de forma diferente. Um monstro é geralmente mais strong que um PC de certas maneiras, mas os PCs têm a vantagem de não serem executados por uma pessoa (entre outros benefícios). Dito isto, os monstros podem ter certas opções de ataque que os PCs não podem.
On a failure, ... it can't use reactions for 1 minute. Moreover, on each of its turns, it can take either an action or a bonus action, but not both.
O Tentacle Rod tem alguns efeitos interessantes. Se o monstro tiver um uso para sua ação bônus, como conjurar palavra de cura ou usar arma espiritual , ele não poderá executar essas ações no mesmo turno que ele atacar, porque eles usam ações de bônus. Da mesma forma, um bruxo malvado não poderia usar counterspell porque é uma reação. No entanto, o Multiattack conta como uma ação e não é interrompido ou dividido.