Sim. Esta é uma ocorrência comum para trabalhadores com visto em muitos países. Eu fiz isso sozinho com um visto no Reino Unido. Para encurtar a história, enquanto o seu passaporte antigo pode ter expirado, isso não significa que os documentos anexados tenham expirado. E se ainda é o mesmo, o visto dos EAU vem como papéis A4 separados de qualquer maneira ?
De qualquer forma, o processo geral seria pegar os dois passaportes. Você apresenta o novo como sua permissão para viajar, e o antigo com o visto como sua permissão para entrar no país para trabalhar.
Outros on-line confirmam isso :
most of my colleagues carry around two passports - the current one and the old one with the Dubai Residency Visa in them. I guess just because the passport expires, doesn't mean the Dubai paperwork does.
E outro :
You will need to carry your old passport as well as your new one. Just because a passport expires does not mean that any valid visas, work permits and similar documents expire with it.