Não.
Uma corrida definida por níveis de classe com um bônus racial em uma habilidade não a trata automaticamente como uma habilidade de classe. O texto das regras citado na pergunta foi retirado do contexto e não se aplica à criação de caracteres no PC.
O texto referenciado no Monster Manual é escrito no contexto da construção e leitura de statblocks de monstros. O título Habilidades de Ler as Entradas de Monstros não apenas esclarece isso, mas também diz que ter níveis de classe isenta um monstro de receber essas habilidades de classe gratuitas.
Skills
This line gives the creature’s skills, along with each skill’s modifier (including adjustments for ability scores, armor check penalties, and any bonuses from feats or racial traits). All listed skills are class skills, unless the creature has a character class (noted in the entry). A creature’s type and Intelligence score determine the number of skill points it has. (7)
O texto citado na página 307 é uma elaboração adicional do texto acima da página 7 para explicar como interpretar e reconstruir as estatísticas de um monstro. Ele menciona níveis de habilidade e bônus raciais porque uma habilidade geralmente é listada apenas na entrada de um monstro se esse monstro tiver um valor ou um bônus racial para aquela habilidade. De fato, a entrada Glossário em habilidades de classe explica quando você deve interpretar uma listagem de habilidades como uma habilidade de classe ou se a habilidade é listada simplesmente porque é relevante para as habilidades especiais do monstro. Este texto não tem nada a ver com a criação de personagens de PC, e não deve ser retirado do contexto para se aplicar a como criar caracteres de PC.
Não apenas o texto foi retirado do contexto, mas você também pode ver facilmente muitas evidências que são contrárias ao que essa pergunta sugere. Por exemplo, existem numerosos exemplos de NPCs que não recebem habilidades de classe livre apenas para ter uma corrida com bônus em testes de perícia. Algumas raças de PC explicitamente dão habilidades de classe como um traço racial.