Ele está tentando formar uma ligação mais próxima com ela

De acordo com as próprias palavras de Tyrion (não exatamente como é da memória):

I suppose the longing looks your way are in hope of forming a strong military ally.

Parece também que Dany tem uma atração por Jon enquanto ela espera por ele na parede, parece preocupada com o estado em que ele está e senta ao seu lado com ele, entre outras coisas.

Com tudo isso, ambos parecem ter uma atração romântica um pelo outro. Neste caso, para promover o vínculo, você tentaria chamá-la, seu nome completo:

Queen of the Andals, the Rhoynar and the First Men (claimant), Protector of the Realm (claimant), Queen of Meereen, Khaleesi of the Great Grass Sea, Mother of Dragons, The Unburnt, Breaker of Chains

Ou o nome que amigos próximos fazem:

Daenerys

Ou você tentaria fazer com que seu vínculo parecesse mais próximo usando um toque mais pessoal:

Dany

Vou deixar isso como uma pergunta em aberto, mas sei para qual deles escolheria.

OOU é também uma configuração para a próxima linha:

How about My Queen.

Em relação à pergunta editada:

Se eu dissesse que meu nome era Joseph, qual apelido você escolheria? Joe, Seph, Jose? Eu acho que você iria para Joe. O mesmo se aplica aqui, ele apenas encurta o nome dela para Dany.

Ele também não sabe que alguém costumava chamá-la de Dany; é um apelido que ele escolheu para ela, embora eu presuma que ele escolha outro de acordo com a reação dela.

Por último, ele não sabe que ela não vai queimá-lo, mas ele está contando que ela não seja louca por merda e que ela goste do nome. Para formar uma ligação mais próxima com alguém, riscos devem ser tomados, e estou bastante confiante de que ele a chamando de Dany é um dos menores riscos em tal situação.