Sua melhor opção seria normalmente o ônibus da National Express que passa diretamente entre Gatwick e Heathrow (Terminais 2/3, de onde você pode se conectar aos outros terminais, se necessário). Nessa hora do dia, ele é executado a cada 10 a 20 minutos e leva pouco mais de uma hora.
Sua bagagem não será transferida - você precisará coletá-la em Gatwick, levá-la no ônibus com você e verificar novamente quando chegar em Heathrow.
No entanto, 2 horas e 45 minutos não é muito tempo para essa transferência. Permitir a obtenção de / para o ônibus que é pelo menos 90 minutos, e você provavelmente precisará verificar sua bagagem no LHR pelo menos uma hora antes do seu voo (dependente da companhia aérea). Isso deixa você 15 minutos para sair do avião, passar pela imigração / alfândega e pegar sua mala.
Dado que, eu acho que sua melhor opção será pegar um táxi. Não será barato, mas você não tem tempo para nenhuma outra opção. Mesmo com um táxi vai ser apertado ...