A resposta a esta questão depende do país que emitiu o visto. Existem duas situações gerais:
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O visto em seu passaporte antigo é aceito em conjunto com um passaporte atual. Você precisa trazer os dois passaportes, mas nenhuma outra ação é necessária.
Exemplo: Será meu visto chinês ainda será válido se eu renovar meu passaporte?
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O país que emitiu o visto exige que o visto esteja em um passaporte atual. Neste caso, eles oferecerão um serviço que transferirá seu visto antigo para o novo passaporte (eles imprimirão um novo adesivo e o afixarão no novo passaporte, e farão algo como abrir um buraco no velho para invalidá-lo).
Exemplo: (Nova Zelândia) Transferindo meu visto para um novo passaporte