Sim, basta trazer o passaporte antigo com visto e o novo passaporte válido com você. (Embora você provavelmente precise dar à agência seu passaporte antigo, não apenas uma cópia, se é uma etiqueta de visto e não uma eletrônica).
I have a standard UAE residency visa, but my passport is due to expire in a couple of months. The visa is valid for another year. How do I go about moving the visa from one passport to another? Is it expensive?
Usual practice is not to do this, as it is not required. You should apply for a new passport in the usual way and then join the two passports with an elastic band. In fact, many are returned from embassies in this form. You will not be asked any questions when entering or leaving the country, and will incur no additional costs.
Isso é de um jornal e é sobre um visto de residência, mas o mesmo se aplica a um visto de visitante comum também.