O parafuso preto tem um fio preto torcido em comum com outros pretos, então provavelmente é o suprimento sempre quente. E os neutros estão todos amarrados juntos, o que também mostra que a energia é alimentada a partir deste fim - o fio branco móvel é verdadeiramente neutro.
Existem dois parafusos de latão indo para preto e vermelho na mesma bainha, tão claramente esses são seus viajantes.
Isso significa que tanto o vermelho quanto o preto ficarão energizados o tempo todo, e isso deve mudar quando você joga o interruptor, obviamente. Um fio deve medir 120V sólido para neutro e o outro um pouco menor que 120V (mas mais que zero devido ao acoplamento capacitivo). Neutro não é chão, mas apenas para um teste momentâneo, você pode "pegar emprestado", já que está vazio.
Se tudo isso passar, passe para a próxima posição do comutador e faça o mesmo teste de mensageiros. Um 4-way tem um par de mensageiros dentro e fora, então teste cada par. Se um switch falhar no teste, o mau switch. Se o comutador a montante passar, mas as entradas do comutador a jusante falharem, o cabo incorreto entre.
Enquanto você está lá, veja todos esses backstabs? Eles são notórios pelo fracasso, especialmente pela força lateral de enfiar um interruptor de volta em uma caixa. Eu moveria as conexões para parafusar os terminais um fio de cada vez para que você não os misturasse. A chance justa de que seu problema seja uma conexão backstab suspeita.