Um Macaco Polimorfo pode subir em uma árvore?

Acho que a resposta para sua pergunta está no trecho que você citou:

The new form can be any beast ... The target's game statistics, including mental ability scores, are replaced by the statistics of the chosen beast. It retains its alignment and personality ... The creature is limited in the actions it can perform by the nature of its new form and it can't speak, cast spells, or take any other action that requires hands or speech.

Os primatas podem subir naturalmente e ter mãos bastante hábeis. Eu argumentaria que, por causa disso, eles poderiam realizar a maioria das ações que os humanos poderiam (desde que o intelecto permita)

Sim, todos os macacos podem subir em árvores.

The creature is limited in the actions it can perform by the nature of its new form and it can't speak, cast spells, or take any other action that requires hands or speech.

A primeira cláusula aqui expressa um princípio, mas não é específica sobre o que a nova forma impede que a criatura faça. Por causa disso, eu li a segunda cláusula explicando as consequências típicas do princípio: a maioria formas polimórficas não podem falar e não têm mãos. Isso é típico das regras do 5e: eles falam sobre o caso usual e deixam para o Mestre resolver os casos de borda.

Neste caso você tem um novo formulário que faz ter mãos e (por seu bloco de estatísticas) pode fazer certas ações que exigem mãos (subir, socar e arremessar rochas, pelo menos). Então, mesmo "limitado pela natureza de sua nova forma", a criatura polimorfa deve ser capaz de fazer essas coisas. Você quer fazer a coisa, verificar se o novo formulário permite, e o novo formulário diz "sim".

Sim, o macaco pode subir em uma árvore

Regras como escritas (RAW), é válido ler a magia polimorfa como restringindo o que alguns animais podem naturalmente fazer. Por exemplo, a Águia Gigante é uma das poucas feras que falam uma língua (especificamente, pode falar "Águia Gigante"). No entanto, acho que seria válido dizer que uma criatura polimórfica em uma Águia Gigante não poderia falar essa língua, porque o feitiço diz "não pode falar".

1.) Escalar não "requer mãos"

O polimorfo afirma que (negrito adicionado para ênfase):

The creature is limited in the actions it can perform by the nature of its new form and it can't speak, cast spells, or take any other action that requires hands or speech.

Escalada não requer mãos. Muitas criaturas (como gatos, lagartos e certos pássaros como pica-paus) sobem sem elas, e não há nada cru que exija que as mãos sejam livres ou usadas ao escalar. O feitiço não diz que a criatura não pode usar suas mãos para qualquer ação: diz que não pode tomar nenhuma ação que "requeira mãos " . Assim, o macaco não podia agarrar uma criatura com sua ação (que RAW requer o uso de "pelo menos uma mão livre" [PHB, p. 195]), mas certamente poderia subir (o que não requer mãos sob as regras).

2.) Escalada não é uma "ação": é uma espécie de movimento

Mais uma vez, o polimorfo afirma:

The creature is limited in the actions it can perform by the nature of its new form and it can't speak, cast spells, or take any other action that requires hands or speech.

As regras de escalada não exigem uma ação para escalar. Eles são encontrados na página 182 do Livro do Jogador, na seção "Tipos Especiais de Movimento".

Existem variedades de escalada que exigem uma ação (como escalar uma criatura maior, DMG p. 271), mas sua pergunta foi especificamente sobre o simples ato de subir em uma árvore. E mesmo que a escalada exigisse uma ação, o primeiro ponto (que não "exige mãos") ainda tornaria uma coisa válida para uma criatura polimórfica em forma de macaco.

The creature is limited in the actions it can perform by the nature of its new form and it can't [...] take any other action that requires hands [...]

O bit 'ações que exigem mãos' é um exemplo específico de estar limitado ao que sua nova forma pode fazer. Em outras palavras, o feitiço polimorfo está dizendo que porque você agora não tem mãos, você não pode fazer coisas que exigem mãos.

Não deve ser entendido como impedir você de fazer coisas que sua nova forma animal pode claramente fazer, como usar seus membros para escalar ou agarrar - seja como mãos, patas ou garras.

As patas de um macaco não têm o mesmo grau de destreza que as mãos de um humano, mas caberia ao Mestre determinar quais atividades seriam muito complexas para sua nova forma.