Quais são as pontuações médias e medianas dos atributos em Túneis e Trolls?

Isso pode ser aproximado, a uma profundidade arbitrária, com uma variedade de métodos. É razoável truncar após o tempo N 3d6 rola - mesmo que sejam todos triplos - como a probabilidade de qualquer combinação contínua (e, portanto, seu efeito na estatística) torna-se muito baixa. Tecnicamente, podemos realizar essa aproximação porque as probabilidades se multiplicam por uma fração menor que uma, enquanto o resultado de ter sorte apenas adiciona uma quantidade limitada.

Eu calculei os resultados de fazer isso para até 8 iterações (ou seja, até 7 resultados triplos, além de um oitavo, onde ignoramos se é outro triplo). Esta é uma aproximação razoável, por exemplo, o maior resultado possível é um atributo de 144, mas isso ocorre tão raramente que contribui apenas com 3 em 10 ^ 17 para a média.

Aqui está um resumo dos resultados:

• Média de 10.800 (em comparação com 10,5 para 3d6 não modificado)

• Mediana 11 (em comparação com 10,5 para 3d6 não modificado)

Coisas interessantes só começam a acontecer quando você olha para os percentis superiores:

• O percentil 95 é uma pontuação de 16 em comparação com 15 não modificados

• O percentil 99 é uma pontuação de 24 em comparação com 17 não modificados

• O percentil 99,9 (1 em 1000 rolos) é uma pontuação de 32, em comparação com 18 não modificados.

• O percentil 99.99 (1 em 10.000 rolos) é uma pontuação de 41.

Portanto, esta mecânica de jogo é muito parecida com o 3d6 comum, exceto por raras exceções, onde pode haver um grande impulso.

Como bônus, aqui está um gráfico rápido para comparar a versão T & T (em vermelho) com 3d6 simples (em amarelo):

Você pode ver que alguns dos múltiplos de 3 têm uma pequena quantidade de probabilidade raspada, que é balanceada por probabilidades mais altas mais tarde (mais notáveis em "valor triplo" + 10 | 11) e uma cauda longa e baixa probabilidade. / p>     

O valor esperado de um rolo 3d6 padrão é 21/2 e com TARO, a expectativa é de 10,8, que é 10 + 4/5 .

Eu apresento um argumento não rigoroso abaixo. O argumento rigoroso com a mesma ideia é muito longo para uma resposta aqui; em vez disso, por favor veja Característica esperada em Túneis & Criação de personagem de Trolls, com generalizações (T. Brander) na revista Matemática para aplicações , vol. 7, n ° 2 (2018).

Temos uma chance de 1/36 de obter triplos, o que (por linearidade de expectativa; ver detalhes abaixo) aumenta a média por outra média de 3d6 multiplicada por 1/36; isto é, ficamos \ $ 21/2 + 21/2 \ cdot 1/36 \ $ .

Mas podemos ter triplos novamente; há mais 1/36 de chance de isso acontecer e, se acontecer, então, em média, adicionamos 21/2. Continuando como, a expectativa é $ \ mathbb {E} (\ text {TARO}) = \ frac {21} {2} + \ frac {21} {2} \ cdot \ frac {1} { 36} + \ frac {21} {2} \ cdot \ left (\ frac {1} {36} \ right) ^ 2 + \ ldots. $$

Esta é uma série geométrica, então $$ \ mathbb {E} (\ text {TARO}) = \ frac {21} {2} \ cdot \ sum_ {j = 0} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {36} \ right) ^ j = \ frac {21} {2} \ cdot \ frac {1} {1-1 / 36}. $$

Vamos simplificar a expressão: $ \ mathbb {E} (\ text {TARO}) = \ frac {21} {2} \ cdot \ frac {1} {1-1 / 36} = \ frac {21} {2} \ cdot \ frac {1} {35/36} = \ frac {21} {2} \ cdot \ frac {36} {35} = 21 \ cdot \ frac {18} {35} = 3 \ cdot \ frac {18} {5} = \ frac {54} {5} = 10 + \ frac {4} {5}. $$

A mediana da distribuição é 11. A mediana para o lançamento padrão de 3d6 é {10, 11}. Como o DARO aumenta os resultados, a mediana só pode aumentar (ou permanecer igual). Se o rolo original for (3, 3, 3), DARO aumenta para pelo menos 13; isso é suficiente para garantir que a mediana de DARO seja de pelo menos 11.

Para obter um limite superior para a mediana, podemos supor que todo triplo originalmente lançado nos dá o resultado final do infinito. Isso move uma massa de probabilidade de 6/216 para o infinito. A probabilidade de rolar exatamente 11 é 27/216, então mover uma massa de 6/216 não pode mover a mediana além disso. Assim, a mediana é no máximo 11.

Como a mediana é de pelo menos 11 e no máximo 11, deve ser 11.

Apêndice

Com o mesmo cálculo, pode-se calcular a média de rolagem de dados com s lados cada, rolando e adicionando, desde que todos os novos dados rolados coincidam. A média é $$ (1-s ^ {1-n}) ^ {- 1} n (s + 1) / 2. $$

Conectar três para n e seis para s dá o resultado acima. A média com DARO (o acréscimo de divisão de duplas, a mecânica de resolução no jogo), ignorando falhas automáticas, é conseqüentemente 8,4 ou 42/5, significativamente maior que a média de 7 com uma típica jogada de 2d6.