Infelizmente, não sabemos.
Tudo o que Tolkien diz sobre a linguagem do dragão é uma breve nota durante uma discussão sobre a disseminação do Westron (ênfase minha):
In Bilbo's time there was a language very widely used all over the West (the Western parts of the Great Lands in those days). It was a sort of lingua-franca, made up of all sorts of languages, but the Elvish language (of the North West) for the most part. It was called the Western language or Common Speech; and in Bilbo's time had already passed eastward over the Misty Mountains and reached Lake Town, and Beorn, and even Smaug (dragons being ready linguists in all ages).
History of Middle-earth XII The Peoples of Middle-earth Chapter 2: "The Appendix on Languages"
Sustentando o ponto de vista de Tolkien, nas raras ocasiões em que vemos dragões falando, eles nunca têm problemas em serem entendidos. Então, eles são evidentemente capazes de pelo menos falar de sindarin e westron, e presumivelmente poderiam aprender a maioria das outras línguas se isso acontecesse.
Uma pergunta inteligente seria perguntar o que os dragões da linguagem falam entre si, mas infelizmente também não sabemos: as ocasiões no livro em que vemos mais de um dragão por vez são raros e exclusivamente batalhas < sup> 1 . Dificilmente um ambiente propício à conversação.
Existe evidência de que Morgoth criou a língua órquica na Primeira Era; um rascunho do que eventualmente se tornaria o Apêndice F, datado de julho de 1950, contém o seguinte parágrafo:
The Orcs had a language of their own, devised for them by the Dark Lord of old, but it was so full of harsh and hideous sounds and vile words that other mouths found it difficult to compass, and few indeed were willing to make the attempt.
History of Middle-earth XII The Peoples of Middle-earth Chapter 2: "The Appendix on Languages"
Se ele fez isso pelos Orcs, é possível que ele tenha feito o mesmo com os Dragões, ou ensinado aos Dragões o Orc, mas não temos nenhuma evidência para apoiar a teoria.
1 Na verdade, acho que pode haver apenas um exemplo, a Queda de Gondolin. Mas é possível que eu esteja esquecendo alguns