Não, seu nome verdadeiro é Harry James Potter, não Henry.

Não há evidências de que seu nome verdadeiro seja Henry. Ao longo do livro ele é sempre chamado de Harry. E seus resultados oficiais do O.W.L se referem a ele como Harry.

Harry James Potter has achieved

Harry Potter e o Enigma do Príncipe, capítulo 5

Como este é um documento oficial, é quase certo que usaria seu nome oficial / legal (como evidenciado pela inclusão de seu nome do meio). Então o nome dele é só Harry, não Henry.

Como apontado por freak da catraca nos comentários, isso também acontece durante o julgamento dele na Ordem da Fênix.

It was a square silver badge with Harry Potter, Disciplinary Hearing on it.

Harry Potter e a Ordem da Fênix, capítulo 7

“You are Harry James Potter, of number four, Privet Drive, Little Whinging, Surrey?” Fudge said, glaring at Harry over the top of his parchment.

Harry Potter e a Ordem da Fênix, capítulo 8

Um tribunal de justiça, sem dúvida, usaria seu nome oficial, em vez de um apelido (novamente evidenciado pela inclusão de seu nome do meio).

O último lance de Dumbledore diz claramente que é Harry

“The Last Will and Testament of Albus Percival Wulfric Brian Dumbledore” … yes, here we are … “to Ronald Bilius Weasley, I leave my Deluminator, in the hope that he will remember me when he uses it.
“To Harry James Potter,”’ he read, and Harry’s insides contracted with a sudden excitement, ‘“I leave the Snitch he caught in his first Quidditch match at Hogwarts, as a reminder of the rewards of perseverance and skill.” _{Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 7 (The Will of Albus Dumbledore)}

Note que Dumbledore deixa o Deluminador para Ronald Bilius Weasley e o informante para Harry James Potter

Em seguida, temos a audição com uma longa lista de nomes completos, note que Harry ainda é chamado de Harry

“Disciplinary hearing of the twelfth of August,’ said Fudge in a ringing voice, and Percy began taking notes at once, ‘into offences committed under the Decree for the Reasonable Restriction of Underage Sorcery and the International Statute of Secrecy by Harry James Potter, resident at number four, Privet Drive, Little Whinging, Surrey.’ ‘Interrogators: Cornelius Oswald Fudge, Minister for Magic; Amelia Susan Bones, Head of the Department of Magical Law Enforcement; Dolores Jane Umbridge, Senior Undersecretary to the Minister.”
_{Harry Potter and the Order of the Phoenix, Chapter 8 (The Hearing)}

Além disso, a Árvore Familiar em Pottermore apóia que é Harry

Como você pode ver na imagem abaixo, Harry aparece como Harry.

Enquanto o bisavô de Harry, um Henry Potter era:

Henry Potter (Harry to his intimates)
_{Potter Family - Pottermore}

Isso parece sugerir que ele era, na verdade, "batizado" de Harry.