O balcão do aluguel muitas vezes deseja que o cartão de crédito seja emitido exatamente com o mesmo nome da carteira de habilitação. Se você e seu pai compartilham um nome ou uma primeira inicial, provavelmente seria aceitável, mas me parece um pouco arriscado.
A melhor solução é pedir ao seu pai que tire um segundo cartão na mesma conta, mas em seu nome. Isso é chamado de "cartão suplementar". Ele será responsável por qualquer gasto que você fizer, mas o cartão estará em seu nome.