Geralmente, trocar passaportes não ajuda. (Na verdade, poderia ferir se for notado, porque um policial pode se opor à aparente intenção de enganar.)
A maioria das leis dos países é expressa em termos de pessoas. A lei geralmente diz que uma pessoa que tem direito a uma isenção de visto tem permissão para permanecer por um determinado período de tempo. O facto de a pessoa ter duas formas de se qualificar para estadias sem visto (ou seja, duas nacionalidades isentas de visto) não altera o facto de a pessoa ter direito a permanecer durante esse período de tempo. Um exemplo disso é o espaço Schengen, onde os nacionais de países terceiros devem respeitar a regra 90/180.
Da mesma forma, alguns países permitem que as pessoas renovem seu período de permanência saindo e voltando imediatamente ao país. Fazer isso com um passaporte diferente não é melhor do que fazê-lo com o mesmo passaporte. Um exemplo disso é os Estados Unidos (a reentrada imediata pode causar suspeita de não ser um visitante genuíno, mas não é explicitamente proibida por lei ou regulamento).
Haverá exceções se as duas nacionalidades tiverem direitos ou privilégios diferentes no país em questão; Nesse caso, poder-se-ia estender uma estadia se eles começassem com o passaporte menos privilegiado e subsequentemente mostrassem o passaporte mais privilegiado. Um caso extremo seria um país da UE onde um dos dois países de cidadania do viajante também é um país da UE. Mas esse não é um exemplo muito satisfatório e não parece ser o tipo de situação que você está perguntando.
Há algumas perguntas aqui que consideram isso para casos específicos: