Não. Sua bagagem não será transferida quando você estiver conectando no solo entre dois aeroportos diferentes. Se você estiver viajando em um único bilhete, você ainda estará protegido e poderá reservar novamente em caso de atrasos.
British Airways - de longe a maior operadora que atende os dois aeroportos - para exemplo tem o seguinte para dizer:
You must collect all your bags before leaving London Gatwick.
e, caso você não tenha feito essa jornada antes:
London's Gatwick and Heathrow airports are located approximately 30 miles apart. The recommended minimum connecting time between Gatwick and Heathrow is 3 hours.
The best way to travel direct between Gatwick and Heathrow is to take a National Express coach. It is fast, frequent, safe, reliable and great value for money.
É muito difícil encontrar uma fonte definitiva para qualquer companhia aérea ou companhia aérea em particular (suponho que este último seja mais preciso no seu caso, já que você estará voando para Shannon com a Aer Lingus, e a menos que você esteja fazendo uma muito estranho roteamento, você não está voando em Gatwick com eles!). No entanto, acho que esse é o tipo de caso em que, se esse serviço fosse fornecido por uma companhia aérea ou por uma aliança, eles estariam gritando nos telhados como um diferencial em relação à BA.