Harry não é um Horcrux.

Como confirmado pela seguinte citação da JKR (que copiei de esta resposta do primeiro e único @ Sonstherincess):

"Here is the thing: for convenience, I had Dumbledore say to Harry, "You were the Horcrux he never meant to make," but I think, by definition, a Horcrux has to be made intentionally. So because Voldemort never went through the grotesque process that I imagine creates a Horcrux with Harry, it was just that he had destabilised his soul so much that it split when he was hit by the backfiring curse. And so this part of it flies off, and attaches to the only living thing in the room. A part of it flees in the very-close-to-death limbo state that Voldemort then goes on and exists in. I suppose it's very close to being a Horcrux, but Harry did not become an evil object. He didn't have curses upon him that the other Horcruxes had. He himself was not contaminated by carrying this bit of parasitic soul."
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Ele só tem um pedaço da alma de Voldemort de alguma forma 'ligado', parasiticamente, ao seu próprio. A poderosa Magia Negra que cerca uma verdadeira Horcrux não está presente nele: Voldemort nunca passou por esse processo com ele, já que essa divisão de almas não foi intencional. É essa Magia Negra que protege a Horcrux de danos por magias de baixo nível, então não há razão para Harry estar tão protegido de magias como as verdadeiras Horcruxes. Faz sentido que um fragmento de alma sem magia especial não tenha nenhuma proteção especial; parte da magia envolvida na criação de uma verdadeira Horcrux deve ser criar tal proteção.

Do Guia dos Trouxas para Harry Potter :

A soul fragment bound to an object, a Horcrux, is proof against ordinary magic, even magic as strong as that produced by an extraordinary wand. (At least, evidence is that Dumbledore believed so, and we have seen nothing against that.) The soul fragment within Harry is not actually bound to him, but is merely clinging to his own soul, and as such is only as strong as Harry himself; if Harry's soul is separated from his body, the soul fragment is detached and vanishes.

Concordo com o @rand al'thor. Harry definitivamente não é um horcrux. Embora eu tenha certeza que sua razão com essa pessoa de Rowling é boa, eu tenho uma razão diferente para essa crença.

"A Horcrux is a word used for an object in which a person has concealed part of their soul."

Isso é um objeto. Nada mais. Horcruxes Vivos são possíveis, como Nagini, mas para eles, a alma é uma Horcrux - ligada ao corpo - o objeto. Enquanto no caso de Harry, o fragmento da alma de Voldemort está fixado em sua alma, não em seu corpo, exatamente como Dumbledore diz:

"...on the night Lord Voldemort tried to kill him, when Lily cast her own life between them as a shield, the Killing Curse rebounded on Lord Voldemort, and a fragment of Voldemort's soul was blasted apart from the whole, and latched itself onto the only living soul left in the collapsing building.

(emphasis mine)

Então o fragmento da alma de Voldemort está ligado à alma de Harry, não ao seu corpo. Ele não é uma Horcrux.

Para responder à sua pergunta, o mecanismo de defesa Horcrux será ativado somente se o dano vier à alma, como Avada Kedavra ou algo assim. Se o dano vem apenas para o corpo, a alma está ilesa.

"Look, if I picked up a sword right now, Ron, and ran you through with it, I wouldn't damage your soul at all...whatever happens to your body, your soul will survive, untouched."

Graças a Hermione, podemos concluir que seja qual for o dano físico que venha a ocorrer em seus feitiços, a alma ficará bem e, portanto, o mecanismo da Horcrux não será acionado.

Harry não tinha os encantamentos de proteção que uma Horcrux faria.

Horcruxes não repelem feitiços inerentemente porque eles têm um pouco de alma neles - os magos que os fazem têm que colocar encantamentos de proteção neles para garantir que eles não sejam destruídos.

“So does it say how to destroy Horcruxes in that book?”

‘Yes,’ said Hermione, now turning the fragile pages as if examining rotting entrails, ‘because it warns Dark wizards how strong they have to make the enchantments on them. From all that I’ve read, what Harry did to Riddle’s diary was one of the few really foolproof ways of destroying a Horcrux.”
_{^{- Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 6 (The Ghoul in Pyjamas)}}

Não é o pedaço de alma que faz com que as Horcruxes sejam tão resistentes a danos, são os encantamentos de proteção adicionais que são colocados nelas e que os tornam tão difíceis de destruir ou danificar. Harry tinha um pedaço de alma nele, mas ele não teria nenhum dos encantamentos de proteção que normalmente seriam colocados nas Horcruxes, então ele não repeliria magias como as Horcruxes.

O horcrux dentro de Harry só parece reagir para se proteger. Além disso, como o horcrux faz parte de Voldemort, provavelmente não se importa se Harry se machucar.

No livro, o fantasma Dumbledore diz que há uma conexão mágica especial entre Harry e Voldemort que permite que Harry faça magia que ele não deveria ser capaz de fazer. Mas a única vez que essa conexão é ativada é quando Voldemort está tentando matar Harry. Isso ocorre porque a horcrux em Harry é Voldemort se protegendo, de si mesmo.