how long can this airplane stay in that airport?
A aeronave é "AOG", então não pode sair. Ele precisa ficar o tempo necessário para concluir o reparo necessário.
what is the airports role in this situation? Do they help them out or just charge the amount they stay on the ground?
O aeroporto normalmente cobraria da companhia aérea a taxa de estacionamento. A taxa de estacionamento é um pequeno custo de não ter uma aeronave disponível no serviço de receita.