Pães sem farinha são, na minha experiência, muito higroscópicos: eles absorvem a água do ar ainda mais rápido que o pão comum. No entanto, como o pão que você está usando está pronto, há uma solução simples: guarde o pão no freezer. Basta separar as fatias (para que você possa separá-las depois de congeladas) e colocá-las em uma sacola de plástico com zíper.
Isso significa que você precisará torrar, ou pelo menos descongelar, o pão antes de usá-lo. No entanto, descobri que congelar o pão resulta em um sabor menos "rançoso" do que em refrigerá-lo.