Com base no que você escreveu, o principal problema para você é a aprovação da TSA. Como estrangeiro, você não pode receber treinamento inicial de voo nos EUA de nenhuma escola ou instrutor, a menos que você tenha uma aprovação da TSA com antecedência. E você precisa de uma aprovação por escola ou instrutor: se a TSA aprovou você para treinamento de voo em uma escola, você pode obter treinamento somente daquela escola específica. Para usar outro instrutor de 141 escolas ou de parte 61, você precisaria de uma segunda aprovação separada.
Mas, supondo que você tenha (ou possa obter) a aprovação do TSA, você pode registrar o tempo de treinamento como de costume. O instrutor deve endossar (assinar) seu diário de bordo, conforme descrito em 14 CFR 61.51 (h) :
(h) Logging training time. (1) A person may log training time when that person receives training from an authorized instructor in an aircraft, flight simulator, or flight training device.
(2) The training time must be logged in a logbook and must:
(i) Be endorsed in a legible manner by the authorized instructor;
E sua pergunta sobre vários diários de bordo já foi já foi feita .