A descrição da propriedade ágil diz:
Agile weapons are unusually well balanced and responsive. A wielder with the Weapon Finesse feat can choose to apply her Dexterity modifier to damage rolls with an agile weapon in place of her Strength modifier. This modifier to damage is not increased for two-handed weapons, but is still reduced for off-hand weapons. (emphasis added)
Como o texto aqui diz especificamente que o modificador para dano não aumenta quando você usa uma arma de duas mãos como se usasse seu bônus de Str, eu argumentaria que a propriedade ágil é incompatível com Dragon Style a este respeito.
Por outro lado, este item da FAQ esclarece que um Ladino Desavisado usando o Treinamento da Finesse com uma mão dupla arma ganha 1,5 * Dex para dano. Nesse caso, acho que Dragon Style poderia ser usado para aumentar seu bônus de dano de Dex. Então, enquanto eu não esperaria jogar fora no jogo da Pathfinder Society, eu acho que você poderia razoavelmente decidir permitir o uso de Dragon Style para aumentar seu bônus de Dex para dano em seu jogo especificamente.
No entanto, você decide usar Dex para a parte de dano de Dragon Style, no entanto, eu não acho que o monge possa usar seu modificador Dex em vez de seu modificador Str para aumentar a duração do efeito agitado de Dragon Ferocity, já que isso não é uma forma de dano.