Ned Stark sendo um Lord of House Stark era um homem conhecido e proeminente em Westeros. Era bem sabido que ele tinha um filho bastardo. Eu acho que o fato de que a linhagem de Jon Snow o precedeu é o motivo pelo qual as pessoas sabem.
Com o fato de que as notícias viajam via Raven ou Rider, o nome por si só não o identifica. As pessoas podem não saber quem ele é, mas certamente juntar os pontos quando perguntarem o nome dele.
Taken from ASOIF Wiki - Ned returned home, bringing with him a bastard
son, Jon, about whose origins he refused to speak, even to his own
wife; he quickly silenced rumors that the boy's mother was the Dornish
noblewoman Ashara Dayne - Referencing chapter 6 - Catelyn
Isso criaria rumores entre os lessers, os traders - assim, a informação se espalha. Talvez não a aparência dele, mas definitivamente o fato de ele ter um bastardo. Catelyn também não escondeu seu desgosto por Jon. Isso se deve ao fato de ele ser um lembrete constante da infidelidade de Ned.