Eu não acho que tenha algum nome especial; foi apenas "a galáxia". Vários dos wikis de Jornada nas Estrelas referem-se à Via Láctea, mas não consigo encontrar qualquer referência a ela como tal em um episódio; Eu suspeito que isso seja para conveniência fora do universo.
A página wiki Universo expandido de Star Trek concorda:
The Milky Way Galaxy (translated from Latin Via Lactea, derived from the Greek Γαλαξίας (Galaxias), often referred to as simply “the galaxy”, is a large barred spiral galaxy in the Local Group.
Memória Alfa não diz nada sobre o assunto.
O Memory Beta também menciona o nome “home galaxy”, de um jogo presumivelmente não-canônico. Faça disso o que você quiser.
The Milky Way is a spiral Galaxy in which most of recorded history takes place. The name “The Milky Way” comes from Earth; the galaxy is also known as the “home galaxy.” (TNG video game: Echoes from the Past)
Em suma, acho que foi apenas "a galáxia", e o nome "Via Láctea" foi ignorado no universo de Star Trek.