Como você disse, o principal benefício é o controle. Eu diria que as duas principais variáveis que você está controlando são a quantidade de gordura na mistura e a maciez e a qualidade dos cortes usados. Dependendo da aplicação, você pode usar uma mistura diferente de carne. (Para hambúrgueres, Alton Brown usa uma mistura de 50/50 de mandril e lombo.)
Moer o seu próprio também pode ser considerado um jogo para aumentar a segurança alimentar. Se houver alguma bactéria na superfície dos cortes de carne que entram no moedor, eles estarão bem distribuídos em toda a moagem. Quanto mais comprida (e mais quente) a carne moída for armazenada entre quando for moída e cozida, maior a chance de as bactérias chegarem a números suficientes para causar algum dano grave ao consumidor. É por isso que é recomendado que a carne moída seja cozida a uma temperatura interna mais alta do que um bife. Na moagem, tudo se transforma efetivamente em área de superfície, então você tem que cozinhar um hambúrguer durante todo o tempo para ter certeza de que matou qualquer bactéria.
Se você está trabalhando duro, você pode fazer o intervalo entre moer e cozinhar arbitrariamente curto, então se você quiser se arriscar com um hambúrguer raro, esta provavelmente seria a melhor razão para você mesmo. Você ainda está correndo um risco neste caso, como qualquer bactéria que estava do lado de fora da sua carne está agora dentro do seu hambúrguer e não será morta se a carne for deixada rara. Você estaria apenas confiando que o açougueiro fez um bom trabalho em manter a parte externa dos cortes que você comprou relativamente livre de infecções. Além disso, qualquer benefício de segurança alimentar pressupõe que você está fazendo um bom trabalho na limpeza do seu equipamento. Moedores de carne podem ser um verdadeiro PITA para limpar bem.
No que diz respeito à diferença de sabor, eu diria que isso é mínimo, novamente se você controlar qualquer diferença de qualidade e cortes de carne que possam ser usados. Se seu açougueiro triturar a carne e armazená-la fria em uma caixa ou embrulhado por um dia ou dois antes de sair pela porta, o sabor não deve mudar o suficiente para que você perceba depois de temperar e cozinhar. Oxydation teria a chance de mudar a cor da carne durante esse período, a razão pela qual a carne moída pode parecer marrom no lado de fora, mas ainda bonita e rosa quando quebrada. Mas não deve haver tempo suficiente para que haja um efeito marcado no sabor.
Se houver qualquer diferença de sabor perceptível, você provavelmente notará isso mais em um hambúrguer, onde você está saboreando a carne por si só, na maior parte do que em algo como um chili ou guisado. (Como um aparte, você não precisa necessariamente moer toda a carne naqueles de qualquer forma, já que eles tendem a ser cozidos o tempo suficiente para amolecer pedaços maiores de cortes mais duros.)