Existe um limite de tempo para os Jogos Vorazes?

Não, não há limite de tempo real. Além disso, a cena que você mencionou no filme não acontece no livro. A partir da descrição do primeiro livro dos Jogos (via Katniss, ênfase minha):

The twenty-four tributes will be imprisoned in a vast outdoor arena that could hold anything from a burning desert to a frozen wasteland. Over a period of several weeks, the competitors must fight to the death.

Mais tarde, enquanto Katniss pensa no tipo de ambiente em que se encontrará:

Often there are trees because barren landscapes are dull and the Games resolve too quickly without them.

E, enquanto Katniss e Peeta estão escondidas, ela tenta descobrir há quanto tempo ela está longe de casa:

How long have I been gone? I'm guessing it's been about two weeks in the arena, and there was that week of preparation in the Capitol.

Por fim, como eles estão fazendo o "review show" no final, parece que esses jogos em particular duraram "várias semanas":

Condensing several weeks into three hours is quite a feat [...]

Então, enquanto não tenho certeza de quanto tempo durou o 74º Jogos, certamente não houve um período de duas semanas. Vemos várias vezes que os Gamemakers irão interferir para manter as coisas interessantes, então não há razão para acreditar que eles não possam essencialmente terminá-la quando quiserem.

Além disso, eles são conhecidos por matar tributos no passado:

There was some speculation that the avalanche that finally took Titus out was specifically engineered to ensure the victor was not a lunatic.

Basicamente, eles têm (quase) total controle sobre a coisa toda, incluindo a duração.

O que aconteceria se um jogo durasse demais? Tom Doyle respondeu a sua própria pergunta - "Os criadores de jogos poderiam matar os vencedores e reuni-los", como vemos no primeiro livro:

Os Jogos Vorazes (livro 1), Parte II "Os Jogos", cap. 13:

It’s not hard to follow the Gamemakers’ motivation. There is the Career pack and then there are the rest of us, probably spread far and thin across the arena. This fire is designed to flush us out, to drive us together. It may not be the most original device I’ve seen, but it’s very, very effective.

A segunda parte da pergunta do OP, "O que aconteceria se isso não funcionasse e eles ainda não matassem ou atacassem uns aos outros?" Se, por exemplo, os tributos dos distritos externos se juntassem e matassem os tributos internos altamente agressivos do distrito, e então apenas se sentassem e se recusassem a lutar? O Capitólio iria, primeiro, executá-los e, segundo, punir severamente suas famílias (pelo menos), talvez até mesmo todos nos distritos de onde vieram. As famílias dos tributos, amigos e pessoas dos distritos são os reféns que garantem que as homenagens tenham um bom espetáculo. Embora isso não pareça ser expressamente declarado, há evidências circunstanciais suficientes para indicar o método de operação do Capitólio.

Os Jogos Vorazes (livro 1), Parte I "Os Tributos, Cap. 8:

At first, I expect guards to come for me. But as time passes, it seems less likely. I calm down. They still need a girl tribute from District 12, don’t they? If the Gamemakers want to punish me, they can do it publicly. Wait until I’m in the arena and sic starving wild animals on me. You can bet they’ll make sure I don’t have a bow and arrow to defend myself.

Os Jogos Vorazes (livro 1), Parte I "Os Tributos", cap. 8:

“Do you think they’ll arrest me?” I ask.

“Doubt it. Be a pain to replace you at this stage,” says Haymitch.

“What about my family?” I say. “Will they punish them?”

“Don’t think so. Wouldn’t make much sense. See, they’d have to reveal what happened in the Training Center for it to have any worthwhile effect on the population. People would need to know what you did. But they can’t since it’s secret, so it’d be a waste of effort,” says Haymitch. “More likely they’ll make your life hell in the arena.”

Os Jogos Vorazes (livro 1), Parte III "O Vencedor", cap. 21:

I nod because I do understand. About owing. About hating it. I understand that if Thresh wins, he’ll have to go back and face a district that has already broken all the rules to thank me, and he is breaking the rules to thank me, too.

A julgar pelo tom geral das outras perguntas que as pessoas fazem, acho que há um mal-entendido muito básico sobre as regras dos jogos. As "regras" são o que o Capitólio disser que são. Se o Capitólio quiser "quebrar" as "regras", não há maior autoridade que possa ser apelada.

O Capitólio poderia simplesmente marchar para os distritos, pegar duas crianças aleatoriamente e atirar nelas no local. Eles criaram os jogos como uma maneira de, em primeiro lugar, legitimar o que de fato é apenas uma execução e, segundo, exibir sua superioridade tecnológica e não apenas sua força bruta.