Não, você não deve presumir que ele conhece a língua se você não a obtiver da sua raça ou experiência. Se não houver regra dando a você o idioma, você não a possui.
Tenha em mente que seu personagem não precisa vir do Subterrâneo para que ele de fato não conheça o idioma. (Superfície Drow é uma coisa em alguns cenários.) Ele também pode vir do Subterrâneo e nunca se preocupou em aprender a linguagem das "raças inferiores" vivendo lá. (Em algumas situações, os drows são bastante racistas).
Se você tiver um motivo válido para conhecer o idioma, poderá negociar com seu DM para obtê-lo. Você pode desistir de um dos seus idiomas, mas isso seria difícil, pois você tem apenas o Common e o Elvish. Desistir do Common seria ruim, pois você provavelmente precisaria dele para conversar com o outro membro do grupo e desistir do Élfico também seria estranho. Isso basicamente significaria criar seu próprio plano de fundo personalizado. Isso é legal, mas precisa do OK do DM e não deve resultar em vantagens para você.
Então você deve dar uma olhada no que você poderia lidar para obter Subcomum se você realmente quiser tê-lo.
Se o seu Mestre tiver um bom dia e você tiver uma razão válida para saber Sub-comum, ele pode dar a você de graça, é claro. Mas ter algo para barganhar ajudaria.
Eu só daria o idioma de graça se não pretendo ir ao Underdark em breve com a minha campanha. Isso reduziria a linguagem a uma coisa de estilo que seria de graça.