Como o AC está sendo ativado, o problema não está lá. O termostato é apenas um simples circuito de sinalização. Desde que você tem que apertar parece sugerir que algo está errado com o termostato.
Alguns dos termostatos antigos têm um bulbo de vidro com uma conta de mercúrio montada na ponta de uma corda bimetálica. À medida que os metais se expandem, a lâmpada se inclina permitindo que o mercúrio deslize para baixo e complete uma conexão na base da lâmpada para sinalizar que a CA deve funcionar. Ao agitar o termostato, provavelmente o mercúrio está causando contato.
Eu acho que esses interruptores de mercúrio provavelmente foram usados em sistemas com mais de 15 anos. Seu termostato pode ser apenas uma simples mola bimetálica com os contatos fazendo uma conexão com outro conjunto de contatos em um controle deslizante. Novamente, sacudir também fará com que a mola se balance e dobre o suficiente para fazer o contato necessário.
De qualquer forma, o problema é provável com essa mola bimetálica. Uma vez que você está agitando o termostato, a corda bimetálica foi desalojada ou fora da calibração. Pode não haver mais nenhuma tensão na mola. Alguém recentemente bateu ou derrubou a parede em algum momento no passado?
Acho que sua melhor aposta é substituir todo o termostato por um novo digital. Você deve ser capaz de encontrar um em qualquer uma das grandes lojas de hardware.