Vamos discutir todos os "ingredientes" separadamente e adicioná-los:
As chances básicas de rolar qualquer número em um d6 são \ $ \ frac {1} {6} \ $.
As probabilidades básicas de rodar um 5 ou 6 em um d6 são \ $ \ frac {1} {3} = 0.33 \ $ (2 fora do 6 produzindo \ $ \ frac {2} {6} = \ frac {1} { 3} \ $).
Da mesma forma, as chances de rolar 1-4 em um d6 são \ $ \ frac {2} {3} = 0.67 \ $.
As chances de uma explosão bem-sucedida de "tiro único" são \ $ \ frac {1} {6} \ times \ frac {1} {3} = \ frac {1} {18} = 0.06 \ $.
Da mesma forma, as chances de uma explosão com falha são \ $ \ frac {1} {6} \ times \ frac {2} {3} = \ frac {4} {18} = 0.22 \ $.
Combiná-los para um único dado produz o seguinte:
\ begin {array} {l | lll} \ text {Número de sucessos} & 0 & 1 & 2 \\ \ hline \ text {Odds usando matriz explodida} & 0.67 & 0.28 & 0.06 \\ \ text {Odds usando matriz normal } & 0.67 & 0.33 & 0 \ end {array}
Existem várias maneiras de combinar as várias jogadas, mas acho que a mais direta é ver como os dados "normais" se comportam e depois explicar o que o dado "especial" (explodindo) morre e como isso afeta o dado. resultados.
Por exemplo, se soubermos que as chances de \ $ N \ $ dados normais para produzir sucessos do 2 são \ $ P \ $, obteremos:
- Sucessos do 2 com probabilidade \ $ P \ vezes 0.67 \ $ (sem êxito do dado especial)
- Sucesso de 3 com probabilidade \ $ P \ vezes 0.28 \ $ (sucesso normal de dado especial)
- Sucessos 4 com probabilidade \ $ P \ vezes 0.06 \ $ (sucesso duplo de um dado especial)
Portanto, as chances normais de dados para vários sucessos são:
\ begin {array} {l | lllll} \ text {# sucessos} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 + \\ \ hline \ text {2d6} & 0.44 & 0.44 & 0.11 & 0 & 0 \\ \ text { 3d6} & 0.30 & 0.44 & 0.22 & 0.04 \\ \ text {0d4} e 6 & 0.20 & 0.40 & 0.30 & 0.10 \\ \ text {0.01d5} & 6 & 0.13 & 0.33 \ 0.33 \ 0.16 \ 0.05 \ 6 \ {6d0.09} & 0.26 & 0.33 & 0.22 & 0.10 \\ \ text {7d6} & 0.06 & 0.20 & 0.31 & 0.26 & 0.17 \\ \ text {8d6} & 0.04 & 0.16 & 0.27 & 0.27 & 0.26 & 9 & 6 \ texto {0.03d0.12} e 0.23 e 0.27 e 0.35 e 10 e 6 \\ \ text {0.02d0.09} e 0.20 e 0.26 e 0.44 e XNUMX e XNUMX \ end {array}
E as chances de resultados com um dado especial são:
\ begin {array} {l | lllll} \ text {# sucessos} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 + \\ \ hline \ text {special + 2d6} & 0.30 & 0.42 & 0.22 & 0.06 & 0.01 \\ \ texto {special + 3d6} & 0.20 & 0.38 & 0.29 & 0.11 \\ \ text {special + 0.02d4} & 6 & 0.13 & 0.32 & 0.32 & 0.17 \\ \ text {special + 0.06d5} & 6 & 0.09 & 0.26 & 0.32 & 0.22 \\ \ text {special + 0.12d6} & 6 & 0.06 & 0.20 & 0.30 & 0.25 \\ \ text {special + 0.19d7} & 6 & 0.04 & 0.15 & 0.27 & 0.27 \\ \ text {special + 0.28d8 \\ \ text {special + 6d0.03 } & 0.11 & 0.23 & 0.27 & 0.36 \\ \ text {special + 9d6} & 0.02 & 0.09 & 0.19 & 0.25 & 0.45 \\ \ text {special + 10d6} & 0.01 & 0.06 & 0.16 & 0.23 & 0.54 \ end {array}
Espero que isto ajude!
PS - Se alguém detectar um erro de cálculo ou erro na abordagem geral, corrija ou comente ...
Adendo - mais sobre cálculos de probabilidade:
So would you be adding or multiplying those probabilities together?
– Metalgearmaycry
Na verdade, fazemos algumas das duas coisas: Ao calcular as chances de cenários complexos, existem duas maneiras de combinar as probabilidades dos elementos básicos desses cenários:
Para as probabilidades de ambos A e B ocorrendo juntos, Multiplicar suas probabilidades
\ $ P (A \; e \; B) = P (A) \ vezes P (B) \ $
Para as probabilidades de A or B ocorrendo, Adicionar suas probabilidades
\ $ P (A \; ou \; B) = P (A) + P (B) \ $
Como exemplo, vamos considerar o cálculo das chances de obter um único sucesso com o seu dado explosivo "one-shot". Existem duas maneiras de obter (apenas) um único sucesso:
- Role um 5 (marque-o como evento A).
OR
- Role um 6 (marque-o como evento B) e role o 1-4 no "rolo explosivo" (marque-o como evento C).
Então, nós estamos olhando para o cenário "(role um 5) ou (role um 6 e, em seguida, 1-4)",
que pode ser escrito como \ $ P (um \; sucesso) = P (A) + (P (B) \ vezes P (C)) \ $.
As chances de um dado surgir em um determinado número são \ $ \ frac {1} {6} \ $, inserindo isso na equação:
$$ P (um \; sucesso) = P (A) + (P (B) \ vezes P (C)) = \ dfrac {1} {6} + \ left (\ dfrac {1} {6} \ times \ dfrac {4} {6} \ right) = \ dfrac {6} {36} + \ dfrac {4} {36} = \ dfrac {10} {36} = 0.28 $$
- Foi assim que a pequena tabela acima foi calculada.
Gerando a tabela de dados "normal"
Ao trabalhar com grandes grupos de cenários, existem atalhos que funcionam melhor do que usar apenas adição e multiplicação. Por exemplo, considere as chances de rolar dados normais do 5d6 e obter exatamente sucessos do 2. Para calcular isso, precisamos combinar o seguinte:
- Dados 1 2 rolou um sucesso e dados 3, 4, 5 rolou um fracasso.
- Dados 1 3 rolou um sucesso e dados 2, 4, 5 rolou um fracasso.
- Dados 1 4 rolou um sucesso e dados 2, 3, 5 rolou um fracasso.
- Dados 1 5 rolou um sucesso e dados 2, 3, 4 rolou um fracasso.
- Dados 2 3 rolou um sucesso e dados 1, 4, 5 rolou um fracasso.
- E assim por diante...
Observe que, para cada um desses cenários, as chances são as mesmas (dados 2 são bem-sucedidos e dados 3 falham). Portanto, podemos anotá-las e somar todas elas, mas seria mais fácil contá-las e multiplicar o resultado pelas probabilidades de um desses cenários.
Para isso, podemos usar outra ferramenta, que vem da combinatória básica (você pode ler mais sobre ela aqui) - é usado para encontrar quantas combinações diferentes existem para elementos \ $ K \ $ escolhidos em uma coleção de tamanho \ $ N \ $.
E sua fórmula é:
$$ \ dfrac {N!} {(K!) \ vezes (NK)!} $$
Por exemplo, para calcular todas as combinações de escolha dos dados de sucesso do 2 do total de 5, o cálculo é:
$$ \ dfrac {5!} {2! \ times 3!} = \ dfrac {120} {2 \ times 6} = 10 $$
Bom, sabemos que existem cenários 10 e cada um com as probabilidades de \ $ P (sucesso) ^ 2 \ vezes P (falha) ^ 3 = \ left (\ frac {2} {6} \ right) ^ 2 \ times \ left (\ frac {4} {6} \ right) ^ 3 = 0.033 \ $ Portanto, as chances de rolar 5d6 e obter exatamente sucessos 2 são \ $ 10 \ times 0.033 = 0.33 \ $. Foi assim que a tabela de dados "normal" foi gerada.
A fórmula geral para sucessos \ $ K \ $ rolando dados \ $ N \ $ "normais" é:
$$ \ dfrac {N!} {K! \ times (NK)!} \ times \ left (\ dfrac {2} {6} \ right) ^ K \ times \ left (\ dfrac {4} {6} \ right) ^ {NK} $$
Gerando a mesa final
Ainda aqui? bem feito!
Já sabemos como um monte de dados normais se comporta. Para gerar a mesa final, precisamos explicar o que o dado "especial" de explosão de um tiro pode adicionar ao resultado.
Lembrete:
\ begin {array} {l | lll} \ text {Número de sucessos} & 0 & 1 & 2 \\ \ text {Odds usando matriz explodida} & 0.67 & 0.28 & 0.06 \ end {array}
Vamos continuar com o exemplo de sucessos 5d6 e 2 de antes, agora adicionamos um sexto dado explosivo à mistura. Portanto, existem cenários diferentes do 3 a serem considerados:
- O rendimento 5d6 sem sucesso, e o dado especial explode por Sucessos do 2.
- O rendimento 5d6 Sucesso da 1e o dado especial produz outro Sucesso da 1.
- O rendimento 5d6 Sucessos do 2, e o dado especial produz sem sucesso.
Para calcular suas chances, apenas multiplicamos o valor da célula relevante na tabela de dados "normal" (para a parte 5d6) pela célula relevante na minitabela acima (para a parte do dado explodindo). Então teremos:
\ $ \ begin {align} e \ text {1. } P (\ text {5d6 com sucessos do 0}) & \ times & P (\ text {explodindo sucessos do 2}) & = 0.13 \ times 0.06 & = 0.0078 \\ & \ text {2. } P (\ text {5d6 com sucesso do 1}) & \ times & P (\ text {explodindo o sucesso do 1}) & = 0.33 \ times 0.28 & = 0.092 \\ & \ text {3. } P (\ text {5d6 com sucessos do 2}) & \ times & P (\ text {explodindo sucessos do 0}) & = 0.33 \ times 0.67 & = 0.22 \ end {align} \ $
A soma dos três resultados fornece as chances de obter exatamente sucessos do 2 no 5d6 + especial, que são \ $ 0.0078 + 0.092 + 0.22 = 0.32 \ $
E é assim que a mesa final é gerada!