Como o arrasto induzido é calculado para uma asa com forma elíptica?

O arrasto induzido é causado pela deflexão para baixo do ar que flui ao redor da asa. A força aerodinâmica resultante é inclinada para trás pela metade do ângulo de deflexão e o ar flui pela asa com um componente de velocidade vertical adicional, produzindo lavagem a jato. Aumentar o ângulo de lavagem para baixo significa aumentar a elevação e a inclinação para trás, para que o arrasto induzido suba com o quadrado da elevação produzida.

Se você deseja minimizar o arrasto induzido para uma determinada elevação, essa dependência quadrática significa que o ideal é alcançado quando o ângulo de lavagem é constante ao longo do período.

How is the induced drag calculated for a wing with elliptical planform?

A asa elíptica, sem torção, tem o mesmo ângulo de ataque e o mesmo coeficiente de sustentação ao longo do vão e produz o ângulo constante desejado de lavagem a jusante. Para simplificar, vamos assumir que a asa está apenas agindo no ar com a densidade $ \ rho $ fluindo com a velocidade $ v $ através de um círculo com um diâmetro igual ao span $ b $ da asa. Se apenas olharmos para este tubo de fluxo, o fluxo de massa será $$ \ frac {dm} {dt} = \ frac {b ^ 2} {4} \ cdot \ pi \ cdot \ rho \ cdot v $$

Lift $ L $ é então a mudança de impulso causada pela asa. Com a velocidade do ar descendente $ v_z $ transmitida pela asa, o elevador é: $$ L = \ frac {b ^ 2} {4} \ cdot \ pi \ cdot \ rho \ cdot v \ cdot v_z = S \ cdot c_L \ cdot \ frac {v ^ 2} {2} \ cdot \ rho $$

$ S $ é a área da asa e $ c_L $ o coeficiente de sustentação geral. Se agora resolvermos a velocidade vertical do ar, obteremos $$ v_z = \ frac {S \ cdot c_L \ cdot \ frac {v ^ 2} {2} \ cdot \ rho} {\ frac {b ^ 2} {4 } \ cdot \ pi \ cdot \ rho \ cdot v} = \ frac {2 \ cdot c_L \ cdot v} {\ pi \ cdot AR} $$ com $ AR = \ frac {b ^ 2} {S} $ the proporção da asa. Agora podemos dividir a velocidade vertical pela velocidade do ar para calcular o ângulo pelo qual o ar foi desviado pela asa. Vamos chamá-lo de $ \ alpha_w $: $$ \ alpha_w = arctan \ left (\ frac {v_z} {v} \ right) = arctan \ left (\ frac {2 \ cdot c_L} {\ pi \ cdot AR} \ right ) $$

A deflexão ocorre gradualmente ao longo do acorde da asa; portanto, o ângulo médio do fluxo local ao longo do acorde é de apenas $ \ alpha_w / 2 $. A elevação atua perpendicularmente a esse fluxo local e, portanto, é inclinado para trás em $ \ alpha_w / 2 $. Em coeficientes, o aumento é de $ c_L $ e o componente anterior é de $ \ alpha_w / 2 \ cdot c_L $. Vamos chamar esse componente de $ c_ {Di} $: $$ c_ {Di} = arctan \ left (\ frac {c_L} {\ pi \ cdot AR} \ right) \ cdot c_L $$

Para $ \ alpha_w $ s pequenos, o arcus tangens pode ser desprezado, e obtemos esta equação de aparência familiar para o componente voltado para trás da força de reação: $$ c_ {Di} = \ frac {c_L ^ 2} {\ pi \ cdot AR} $$

Se a circulação ao longo do intervalo tiver uma distribuição elíptica, a mudança local na circulação vezes a quantidade local de circulação é constante e o arrasto induzido $ c_ {Di} $ é mínimo. Se isso fosse diferente, um $ v_z $ local mais alto causa um aumento quadrático no arrasto induzido local, de modo que toda a asa criará sua sustentação com menos eficiência.

Is this wing shape the most efficient ?

Somente se você perguntar a um aerodinâmico, a resposta será sim. Uma asa elíptica fornecerá a melhor proporção de sustentação para arraste, o que claramente é uma maneira de expressar eficiência.

Na realidade, a asa tem que se elevar mais uma carga útil, mas apenas a carga útil deve ser considerada ao formular eficiência. Portanto, a otimização pura de elevação / arrasto é muito estreita. O que deve contar é a melhor proporção de sustentação menos o peso da asa em relação ao arrasto. RT Jones escreveu um Nota técnica da NACA de volta ao 1950 em que ele analisou esse problema analiticamente. O peso da asa aumenta quando muita elevação é criada perto das pontas, porque essa elevação causa um momento de flexão desproporcional da raiz, e a longarina da asa que precisa suportar esse momento de flexão é uma parte significativa da estrutura da asa. Portanto, reduzir a sustentação nas pontas e adicionar mais sustentação na raiz criará uma asa mais leve para um aumento modesto do arrasto, resultando em um ótimo ideal para uma distribuição de sustentação quase triangular. Quando comparado a uma forma de planta elíptica da asa, a extensão total da asa otimizada é maior para o mesmo arrasto geral, mas essa asa pesa menos.

Comparação de carga em sentido horário para asas do mesmo elevador fixo, da Nota Técnica NACA 2249.

Mas isso é fácil demais. As leis de escala devem ser consideradas além disso. Você sabe que os elefantes têm pernas muito mais massivas em relação ao tamanho do corpo do que os antílopes (ou até formigas, para uma comparação ainda mais drástica), já que a massa corporal escala com o cubo da dimensão linear enquanto a força estrutural escala apenas com o quadrado da dimensão linear . Isso significa que o peso da longarina da asa será proporcionalmente mais alto para aeronaves maiores.

Como conseqüência, os insetos têm mais asas elípticas do que os albatrozes, e os modelos de aeronaves têm asas ideais que são muito mais elípticas do que a asa ideal de um avião. O deslocamento ideal de uma distribuição de carga elíptica em escalas muito pequenas para uma distribuição quase triangular em escalas grandes.

Para uma asa com carga elíptica de span, o arrasto induzido pode ser calculado diretamente a partir do coeficiente de elevação. O coeficiente de arrasto induzido $ C_ {D_ {i}} $ pode ser calculado como,

$ C_ {D_ {i}} = \ frac {C_ {L} ^ {2}} {\ pi A} $

onde $ C_ {L} $ é o coeficiente de elevação e $ A $ é a proporção.

A carga elíptica produz o arrasto induzido mínimo de acordo com a teoria da linha de elevação, quando apenas a extensão e a elevação são consideradas. Se outras considerações entrarem em jogo (como momento de flexão da asa), a forma mais eficiente varia.

Quanto ao motivo pelo qual a melhor distribuição é elíptica, as equações podem ser facilmente derivadas da teoria das linhas de elevação; basicamente, isso ocorre porque o downwash é constante ao longo do período. Uma boa maneira de raciocinar por que isso acontece é dada em O arrasto mínimo induzido de aerofólios por Max Munk, Relatório NACA No. 121.

If the distribution is the best one, the drag cannot be decreased or increased by transferring one lifting element from its old position to some new position. Now, the share of one element in the drag is composed of two parts. It takes a share in producing a downwash in neighborhood of other lifting elements and, in consequence, a change in their drag. It has itself a drag, being situated in the downwash produced by the other elements.

... In case of the lifting straight line, the two downwashes, each produced by one element in the neighborhood of the other, are equal. For this reason, the two drags of the two elements each produced by the other are equal too, and hence the two parts of the entire drag of the wings due to one element. ... hence, the entire drag due to one element is unchanged when the element is transferred from one situation to a new one of the same downwash, and the distribution is best only if the downwash is constant over the whole wing.

Por esse motivo, quando apenas a amplitude e a elevação são consideradas, a carga elíptica fornece o arrasto mínimo induzido, pois a lavagem descendente é constante sobre a asa. Quando as restrições são modificadas, outras distribuições e formatos de asas se tornam mais eficientes. Por exemplo, de Sobre o arrasto mínimo induzido de asas de AH Bowers:

$\diamond$ Prandtl/Munk (1914)

Elliptical

Constrained only by span and lift

Downwash: $y = c$

$\diamond$ Prandtl/Horten/Jones (1932)

Bell shaped

Constrained by lift and bending moment

Downwash: $y = bx + c$

$\diamond$ Klein/Viswanathan (1975)

Modified bell shape

Constrained by lift, moment and shear (minimum structure)

Downwash: $y = ax + bx + c^{2}$