Você precisa comprar um, não o recebe de graça

Multiclasse não fornece o equipamento inicial para uma classe:

You don't, however, receive the class's starting equipment

Comprando um Foco

Mas você pode compre um! Focos Arcanos estão disponíveis em Adventuring Gear e tem um custo associado:

Item Cost Weight

Crystal 10 gp 1 lb.

Orb 20 gp 3 lb.

Rod 10 gp 2 lb.

Staff 5 gp 4 lb.

Wand 10 gp 1 lb.

Foco e relacionamento de classe

Isso pode ter alguma influência do Mestre, mas, em geral, não há requisitos sobre onde você obtém seu Foco Arcano. De fato, o foco é apenas descrito como:

An arcane focus is a special item designed to channel the power of arcane spells. A sorcerer, warlock, or wizard can use such an item as a spellcasting focus, as described in the Spellcasting section.

Inerentemente, o foco apenas ajuda e faz com que você não exija componentes de material (que não têm valor ou não são consumidos).

A character can use a component pouch or a spellcasting focus in place of the [Material] components specified for a spell. But if a cost is indicated for a component, a character must have that specific component before he or she can cast the spell.

A forma como você usa o foco depende do personagem, mas seu objetivo não está vinculado a onde você o conseguiu - ele está vinculado a como você o usa.

Não, não há equipamento gratuito quando você multiclasse, a menos que seja explicitamente declarado.

No PHB afirma:

"When you gain a new level in a class, you get its features for that level. You don't, however, receive the class's starting equipment, and a few features have additional rules when you're multiclassing: Channel Divinity, Extra Attack, Unarmored Defense, and Spellcasting."

Pense desta maneira; se você começasse como bruxo e depois entrasse em um paladino de várias classes, eles de repente encontrariam cota de malha embaixo do travesseiro?

Na página 148 do PHB, em Equipamento de aventura, há uma lista de itens, incluindo Arcane Focus, que são executados entre o 5-20 gp. E não há nada na descrição do Warlock que sugira que o foco precise estar vinculado ao seu cliente específico.