EDIT: Devido a várias alterações na postagem original, esta resposta não se aplica mais. Mantendo por causa de seus comentários.
Você provavelmente desejará começar com uma bateria 12V e usar um conversor "buck" de 12V para 5V para fornecer seu 5V. Um que pode lidar com o 5A deve ser o 10-15 USD, mas convém ter uma classificação mais alta se essa carga do 4A for constante, para dar margem a erros. Em seguida, decida quanto tempo você deseja que seu equipamento funcione - se você quiser um backup de hora 10, precisará de 4 * 5 * 10 = 200 Wh de capacidade. Para uma bateria 12V, se você usar apenas o máximo de 40% de sua capacidade (para longa vida útil), precisará de uma bateria de ampère-hora 40 ([200 / 12] * 2.5 = 41), que talvez você possa executar o 60 -70 USD. Além disso, quando você conectar tudo isso, verifique se a conexão com o equipamento é a mesma polaridade do carregador - o símbolo diz que é positivo para o centro.
As baterias 12V são de vários tipos - AGM, SLA, Marinha, bateria de carro ... Tive sorte com o SLA ou com ácido-chumbo selado: elas são bem contidas, duram anos de uso diário 5-7 use se o tamanho for adequado e o carregamento é simples. Se o seu equipamento for móvel, você poderá experimentar algum tipo de bateria recarregável de lítio, obterá boa densidade de energia, mas terá que lidar com o risco de explosão de baterias, carregamento complicado e vida útil mais curta.
Não use uma bateria de carro - ela provavelmente morrerá após apenas um ciclo de carregamento completo da 10.
As baterias de chumbo-ácido têm duas partes em sua "capacidade": total de horas-amp e descarga ou taxa "C". Multiplique a taxa C pela capacidade de amp / hora da bateria para obter o empate do amplificador ao qual essa classificação se aplica. Por exemplo, para uma classificação de 40Ah @ 0.1C, a bateria fornecerá um ampère-hora 40 se você consumir amplificadores 4 continuamente. A regra geral é que, quanto mais corrente você retira da bateria, menos horas-amp são mantidas. batteryuniversity.com tem algumas excelentes explicações detalhadas sobre tudo isso.