A lâmina de fogo não pode ser uma arma improvisada
As regras para armas improvisadas especificam que elas requerem um objeto:
An improvised weapon includes any object you can wield in one or two hands, such as broken glass, a table leg, a frying pan, a wagon wheel, or a dead goblin.
As regras definem um objeto como:
a discrete, inanimate item like a window, door, sword, book, table, chair, or stone
Isso é aprofundado em esta resposta à pergunta "O que é um objeto?".
Embora se possa argumentar que a lâmina ardente é discreta (eu concordo) e inanimada (um pouco mais difícil de convencer, mas eu também concordo), não é um "item":
an individual article or unit
Pela própria natureza do fogo, você não pode realmente se referir a ele como uma unidade.
Em conclusão, a lâmina ardente da qual você evoca lâmina de chama é um efeito de feitiço, não um objeto. Portanto, não pode ser uma arma improvisada.
E se o meu GM decidir que pode ser?
Permitir que a lâmina de chamas atue como uma arma improvisada abre mais mecânica do que o feitiço é necessário e um GM precisará considerar como isso pode afetar os outros aspectos do jogo. Considerando isso, se o seu GM faz Para permitir que o efeito mágico seja usado como arma improvisada ou decidir que a lâmina ardente é um objeto, as seguintes respostas se aplicam:
Would such an attack benefit from scimitar proficiency?
Talvez. As regras dizem:
At the DM's option, a character proficient with a weapon can use a similar object as if it were that weapon and use his or her proficiency bonus.
So cabe ao GM se a lâmina ardente é semelhante o suficiente. Ele tem o mesmo tamanho e forma, então esse é um ponto na direção "sim", mas é feito de fogo e não de metal.
Would it deal 1d4, 1d6, or 3d6 damage?
Lidaria 1d4 ou 1d6,
Se o seu GM decidir que é semelhante a uma cimitarra, ele usará o dano da cimitarra. Caso contrário isto:
bears no resemblance to a weapon [and] deals 1d4 damage
Então, em suma, é até o seu GM.
Would the damage be fire damage?
Talvez. Como antes, se estiver sendo tratado como uma cimitarra, ele tem essas propriedades:
can use a similar object as if it were that weapon
... e, portanto, causaria danos cortantes.
De outra forma...
the DM assigns a damage type appropriate to the object
... e o fogo é provavelmente o candidato mais provável. Novamente, até o GM.