Como triangular uma posição usando dois DMEs?

Não sendo especialista em trigonometria esférica, explicarei o método existente detalhado por outros em: Análise de Navegação e Vigilância de Aeronaves Referenciadas à Terra.

Interseção de duas esferas para obter um círculo

A distância inclinada determinada com o DME significa que a aeronave está na superfície de uma esfera centralizada na estação DME, com raio igual à distância inclinada. Ao interrogar dois DME, duas esferas de interseção são determinadas. A interseção é um círculo (círculo rosa na figura abaixo). Quanto mais próxima a aeronave estiver da linha que une as duas estações DME (a baseline), quanto menor o círculo, até um único ponto quando a aeronave estiver exatamente na linha de base.

Interseção do círculo com um plano para obter dois pontos

A aeronave está voando em um plano horizontal. Este plano cruza o círculo em dois locais (pontos verdes na figura abaixo). Usando as informações diretas que temos (faixas de altitude e inclinação), podemos determinar dois pontos simétricos à linha de base onde a aeronave pode ser localizada. Um ponto é virtual e deve ser eliminado por um método indireto.

Remova o local errado

Em um determinado momento, a aeronave poderia estar localizada em qualquer um dos pontos e ainda receber os mesmos sinais DME. Na solução matemática, isso aparecerá ao usar uma função como $ arcsin (x) $, que oferece duas possibilidades de ângulos, por exemplo, 40 ° (90 ° -50 °) e 140 ° (90 ° + 50 °) pelo mesmo $ x $ valor.

Existem métodos separáveis ​​para eliminar a posição virtual:

• Monitorar o progresso da aeronave: Se a aeronave voa para o norte, o ponto superior se move para o norte enquanto o ponto inferior se move para o sul. Podemos detectar essa trajetória ilógica (por exemplo, usando um método preditivo Filtro de Kalman).

• Use um terceiro DME: A terceira esfera de alcance, se o DME estiver bem selecionado, elimina o local errado.

• Determine o rumo da aeronave usando um VOR, de preferência colocado com um dos DME.

Método usado para resolução matemática

O problema do local DME / DME / Elevation se resume a esse problema:

• Two DME stations $\small U$ and $\small S$ with known latitudes, longitudes and altitudes ($\small L_U$, $\small \lambda_U$, $\small h_U$ and $\small L_S$, $\small \lambda_S$, $\small h_S$).
• An aircraft A with known altitude ($\small h_A$).
• Two measured slant distances ($\small d_{UA}$ and $\small d_{SA}$)

$ \ small C $ é o centro da Terra (o raio da Terra é $ \ small R_e $ e $ \ small P $ é a projeção no solo da posição da aeronave. Seguindo o método mencionado anteriormente, executamos as seguintes etapas:

• Step 0: Convert slant-ranges to angular distance
• Step 1: Solve the spherical triangle for each station
• Step 2: Confirm inputs are consistent and a solution exists
• Step 3: Solve the spherical triangle USA
• Step 4: Compute aircraft latitude and longitude

Etapa 0: converter intervalos inclinados em distância angular

Com altitudes e faixas de inclinação conhecidas, é possível calcular distâncias angulares $ \ small \ theta_ {SA} $ ($ \ small \ widehat {SCA} $) e $ \ theta_ {UA} $ ($ \ small \ widehat {UCA } $) entre DME e aeronave. A propósito, a distância angular (expressa em radianos) entre dois pontos vezes o raio da Terra fornece o grande comprimento do círculo do arco entre os pontos. Para cada DME $ \ small x $ ($ \ small x $ sendo $ \ small U $ ou $ \ small S $):

$$ \ theta_ {xA} = 2 \ espaço arcsin \ left (\ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {(d_ {xA} -h_A + h_x) (d_ {xA} + h_A-h_x)} {(R_e + h_x) (R_e + h_A)}} \ direita) $$

Por convenção, precisamos nomear $ \ small U $ a estação que fica para o oeste. Isso nos permite fazer referência à posição da aeronave como "a que está ao sul da linha de base".

Etapa 1: Resolva o triângulo esférico para cada estação

O primeiro passo real é obter a distância angular $ \ small \ theta_ {US} $ entre as duas estações DME:

$$ sin (\ frac {1} {2} \ theta_ {US}) = \ sqrt {sin ^ 2 \ left (\ frac {1} {2} (L_S-L_U) \ right) + cos (L_S) cos (L_U) sin ^ 2 \ left (\ frac {1} {2} (\ lambda_S- \ lambda_U) \ right)} $$

onde $ \ small L_U $ e $ \ small L_S $ são latitudes de $ \ small U $ e $ \ small S $ e $ \ small \ lambda_U $ e $ \ small \ lambda_S $ são longitudes de $ \ small U $ e $ \ S $ pequeno.

Precisamos conhecer um dos azimutes nas extremidades da linha de base entre $ \ small U $ e $ \ small S $:

$$ tan (\ psi_ {S / U}) = \ frac {cos (L_S) sin (\ lambda_S - \ lambda_U)} {sin (L_S) cos (L_U) - cos (L_S) sin (L_U) cos (\ lambda_S - \ lambda_U)} $$

Etapa 2: confirme se as entradas são consistentes e se existe uma solução

Se os intervalos de inclinação são 10 NM e 15 NM, e a distância conhecida entre as estações é 30 NM, então não há solução real, algo deve estar errado. Esta etapa verifica se as duas esferas da faixa DME se cruzam. Já calculamos as distâncias angulares $ \ small \ theta_ {UA} $ e $ \ small \ theta_ {SA} $ e a distância entre as estações $ \ small \ theta_ {US} $:

• Se $ \ small \ theta_ {UA} + \ theta_ {SA} <\ theta_ {US} $, as esferas não se cruzam (as centrais são muito remotas)
• Se $ \ small \ left | \ theta_ {UA} - \ theta_ {SA} \ right | > \ theta_ {US} $, as esferas são concêntricas e não se cruzam.

Etapa 3: Resolva o triângulo esférico EUA

Agora que conhecemos os três lados do triângulo $ \ small \ widehat {USA} $, podemos determinar qualquer um de seus ângulos. Precisamos apenas do ângulo com seu ápice em uma estação:

$$ cos (\ beta_U) = \ frac {cos (\ theta_ {SA}) - cos (\ theta_ {US}) cos (\ theta_ {UA})} {sin (\ theta_ {US}) sin (\ theta_ {UA})} $$

Etapa 4: Com todos os dados agora disponíveis, calcule a latitude e longitude da aeronave

É hora de decidir qual das duas posições da aeronave queremos selecionar o ângulo de azimute correspondente na estação $ \ small U $ (pode ser em $ \ small S $, mas fizemos a etapa anterior em $ \ small U $):

• Se $ \ small A $ estiver ao sul de $ \ small US $ baseline (supondo que $ \ small U $ esteja a oeste de $ \ small S $): $ \ small \ psi_ {A / U} = \ psi_ {S / U} + \ beta_U $

• Se $ \ small A $ estiver ao norte de $ \ small US $ baseline: $ \ small \ psi_ {A / U} = \ psi_ {S / U} - \ beta_U $

Latitude da aeronave $ \ small L_A $:

$$ sin (L_A) = sin (L_U) cos (\ theta_ {UA}) + cos (L_U) sin (\ theta_ {UA}) cos (\ psi_ {A / U}) $$

Longitude da aeronave $ \ small \ lambda_A $:

$$ tan (\ lambda_A - \ lambda_U) = \ frac {sin (\ psi_ {A / U}) sin (\ theta_ {UA})} {cos (L_U) cos (\ theta_ {UA}) - sin (L_U ) sin (\ theta_ {UA}) cos (\ psi_ {A / U})} $$

A Implementação Python deste método está disponível no SO.SE.