Há duas questões aqui.
Primeiro, você normalmente não encontrará ninguém que verifique seu status de imigração durante viagens domésticas nos EUA. A triagem de segurança da TSA apenas verifica se você não está trazendo itens proibidos e verifica seu ID para garantir que você é a pessoa cujo nome está no cartão de embarque. Qualquer passaporte estrangeiro é um ID aceito para fins de identificação da TSA. Ter ou não um visto é irrelevante. A TSA não tem jurisdição nem é treinada para verificar qualquer coisa relacionada ao status de imigração.
Segundo, embora improvável, há uma pequena chance de encontrar um ponto de verificação do CBP enquanto viaja dentro dos EUA, em rodovias ou aeroportos dentro da 100 milhas da fronteira. (Também é possível que você encontre um agente da TSA desonesto que acha que é seu trabalho verificar vistos e não entende que os vistos dos EUA são apenas para entrada, que podem chamar um oficial do CBP para verificar você.) Nesse caso, você apresentaria evidências de que está legalmente nos EUA.
Observe que os vistos dos EUA são exclusivos para entrada nos EUA; a data de vencimento do visto significa apenas a última data em que você pode usá-lo para entrar. É perfeitamente normal estar no status nos meses dos EUA ou mesmo anos após o vencimento do visto, dependendo do status. O que determina quanto tempo você pode permanecer nos EUA é o seu I-94 e por outros regulamentos relacionados ao seu status. Os I-94s são eletrônicos hoje em dia; a data no I-94 que você recebeu na entrada também costuma ser escrita embaixo do carimbo de entrada no passaporte. Se a data não estava escrita no seu passaporte ou você o perdeu, você pode imprimir o seu I-94 a partir do Site I-94. Se você recebeu o I-94 mais recente de uma Mudança de status ou Extensão de status nos EUA, a aprovação para isso viria com um documento I-94. No caso improvável de verificar seu status de imigração, mostrar o seu I-94 deve ser suficiente.
Se "solicitou um green card" significa que você solicitou o I-485 para ajuste de status nos EUA, você poderá permanecer nos EUA mesmo se estiver fora do status. Nesse caso, você deve levar seu recibo I-485 e mostrar que, no caso improvável, você será verificado quanto ao seu status de imigração.