Sim, você pode ser curado ou estabilizado enquanto petrificado

A condição petrificada indica o seguinte:

• A petrified creature is transformed, along with any nonmagical object is is wearing of carrying, into a solid inanimate substance (usually stone). Its weight increases by a factor of ten, and it ceases aging.
• The creature is incapacitated (see the condition), can't move or speak, and is unaware of its surroundings.
• Attacks rolls against the creature have advantage.
• The creature automatically fails Strength and Dexterity savings throws.
• The creature is immune to poison and disease, although a poison or disease already in its system is suspend, not neutralized.

Não há restrição para curar ou lançar feitiços em uma criatura petrificada. Você ainda é uma criatura, pode ser alvejado por ataques, assim também pode ser curado, como (oficialmente) confirmado por este tweet:

Neither the petrified condition nor the flesh to stone spell turns you into an object. You are a creature subjected to the petrified condition (PH, 291). #DND

^{Obrigado @Rubiksmoose pelo link}

Você não pode tomar ações ou ações extras, pois está incapacitado, de modo que não pode se curar além de descansar um pouco. Feitiços de cura de outras pessoas e poções ainda funcionarão.

A lógica diz que você não pode, e é assim que tratamos a petrificação no LARP.

As regras de D&D provavelmente não são explícitas neste caso específico. No entanto, o fato de venenos e doenças serem suspensos (mas não eliminados) nos dá uma dica para uma decisão.

Primeiro, no estado petrificado você estão estabilizado. Tanto a lógica quanto o fato de o envelhecimento, o veneno, a doença e até a conscientização do ambiente estarem parados indicam que o sangramento não vai mais acontecer.

Em segundo lugar, uma boa decisão (IMHO) seria que feitiços de cura etc. possam ser lançados enquanto você estiver petrificado, mas eles serão presos da mesma forma que os venenos e serão efetivados assim que a petrificação cessar. Observe que o tempo ainda corre, portanto, se os feitiços expirarem no momento em que você voltar a carne e sangue (ou for instantâneo), eles não terão efeito.

Esse último é importante para a consistência, porque, caso contrário, todos prejudicial os feitiços também teriam que ser adiados e entrar em vigor quando você voltar.