TL; DR: As duas famílias são opostas de várias maneiras, mas a verdadeira animosidade não começou até o Saque de Porto Real no final da Rebelião de Robert.
De muitas maneiras, o Lannisters e Starks sempre foram opostos completos. Ambas as famílias estavam entre as mais antigas de Westeros, rastreando sua linhagem desde os Primeiros Homens. Os Starks, no entanto, eram conhecidos por sua rígida honra e conduta. Seu próprio nome - Stark - descreve não apenas seu ambiente no norte, mas também suas perspectivas. Em contraste, os Lannisters eram conhecidos por flexibilidade e decepção. O nome da família em si é derivado de Lann, o inteligente - um homem mais conhecido como o malandro que entrou na propriedade de Casterly Rock.
No entanto, grande parte da animosidade que vemos durante A Guerra dos Cinco Reis é relativamente recente. Começou em grande parte durante Rebelião de Robert. Embora seja possível que Ned Stark tinha um pequeno desdém por casas que se recusavam a tomar partido durante a rebelião, que é apenas conjectura neste momento. Ele, no entanto, ressentiu-se do fato de que os Lannisters só se uniram à Rebelião no final, uma vez que ficou óbvio quem estava ganhando. Esse ressentimento ainda era evidente anos depois.
"The lion of Lannister flew over the ramparts, not the crowned stag.
And they had taken the city by treachery." "There was no honor in that conquest." - Eddard Stark (GoT, Ch. 12)
O saco do desembarque do rei
Durante a saco de Porto Real no final da rebelião, foi Ned quem primeiro rompeu a sala do trono. Esperando uma batalha feroz contra o Guarda Real, Ned encontrou Jaime Lannister - o guarda-costas pessoal do rei - em pé sobre o rei morto, tendo acabado de matá-lo. Do ponto de vista de Ned, Jaime havia quebrado seu juramento sagrado à Guarda Real, matando o próprio homem ele jurou proteger. Do ponto de vista de Jaime, ele tinha um motivo muito válido (heróico, até) para matar o rei, mas viu apenas julgamento e desprezo no rosto de Ned.
Além disso, parecia óbvio para Ned que as ações horrendas de Gregor Clegane foram feitos por ordem de Tywin Lannister, embora ele nunca possa provar tal afirmação. Ele e Robert teve uma discussão acalorada sobre esse assunto, e causou uma brecha entre os dois, que apenas a tristeza compartilhada Lyanna poderia curar.
Então, imediatamente após o final da rebelião de Robert, você agora tem Ned Stark não gostando de Tywin e Jaime Lannister, embora por razões diferentes. Você também tem Jaime Lannister se ressentindo de Ned Stark por sua atitude de julgamento.
Quinze anos depois
A série pega 15 anos após a rebelião. Quando a Mão do Rei - amigo de Ned Jon Arryn - morre, Catelyn Stark ouve da irmã (viúva de Jon) que os Lannisters estavam por trás do assassinato. Há também a questão de Farelo entrando em coma enquanto o rei (assim como Rainha Cersei e seu irmão Jaime) estão presentes - um evento que Ned vê com alguma suspeita.
Depois que Ned se torna a nova Mão, ele pega a investigação de Jon e aprende sobre
the incestuous affair between Queen Cersei and Jaimie. Cersei also confirms that they were involved in Bran's accident.
Obviamente, isso acontece APÓS a passagem que você cita, mas apenas reforça a aversão de Ned aos Lannisters, e agora dá a Cersei uma razão prática para não gostar de Ned.
Deve-se notar que Tywin não compartilhava necessariamente essa animosidade pelos Starks. De fato, pode-se argumentar que ele respeitava um pouco Ned, embora ele pareça acreditar que a inflexibilidade de Ned e a rígida adesão à honra eram de fato sua maior falha. De fato, a única pessoa que realmente vemos Tywin expressando alguma animosidade é com seu próprio filho, Tyrion.
Observação: Em relação a Cersei, é perfeitamente possível que ela já tenha se ressentido de Ned não apenas por causa da maneira como Jaime se sentia, mas também porque ela viu em Ned uma lealdade e amor que Robert nunca a mostrou como sua esposa. Isso é apenas especulação da minha parte, no entanto.