A partir da sua descrição, eu diria que um conjunto de fios antigos na caixa era o feed da fonte de alimentação, e o outro conjunto de fios antigos alimenta outras cargas a jusante. O cabo mais novo provavelmente alimenta o receptáculo. Apenas um palpite embora.
Update: If I touch the white bundle in this box to the ground, both of the downstream receptacles work, as I expected, but as per this answer, that seems like a dangerous and unsatisfactory solution.
Definitivamente, NÃO é uma solução viável - não foi realmente seguro como teste. No entanto, indica que o problema é provavelmente devido a uma conexão neutra ou quebra no fio entre esta caixa e a fonte.
Rastrear isso de volta e encontrar o problema pode ser fácil ou pode ser muito difícil.