Um avião pode voar para trás se sua hélice estiver ao contrário?

Voar? Não.
As asas geralmente produzem sustentação suficiente para manter uma aeronave no ar quando o ar está fluindo sobre elas na direção pretendida. Se você inverter o fluxo de ar sobre a asa (movendo-se para trás no ar, por exemplo), a asa não estará mais produzindo a sustentação necessária e a aeronave "descerá a uma taxa extremamente rápida" até que um fluxo de ar normal sobre as asas seja restaurado. (Essa é a maneira educada de dizer "a coisa danada cai do céu como uma pedra!")

Mover? Sim. Pelo menos no chão.
Isso foi demonstrado em mais de uma ocasião por Fat Albert, o C-130 que suporta os Blue Angels. Enquanto as próprias hélices não invertem, o passo da lâmina é alterado para produzir empuxo reverso (desacelerando a aeronave da mesma maneira que os reversores de empuxo fazem em um motor a jato e, nesse caso, revertendo sua direção de viagem).

Observe que há uma exceção notável na regra "os aviões não podem voar para trás", ao qual o artigo Ethan vinculou alude a: Se a velocidade do vento exceder a velocidade de estol da aeronave, é possível que uma aeronave "voe" na velocidade mínima do ar, mas esteja se movendo para trás em relação ao solo.
Mas é um truque: o avião ainda pensa que está voando para a frente (a velocidade relativa do vento sobre as asas está na direção "normal", e o velocidade do ar é rápido o suficiente para criar sustentação suficiente para sustentar o vôo). Acontece que a velocidade do ar inclui um componente de vento suficiente para dar à aeronave um valor "negativo" líquido velocidade no solo.
O hipotético P-51 em sua pergunta exigiria ventos sustentados de cerca de nós 83 para fazer esse truque funcionar (geralmente chamamos isso de furacão), mas algo como um Piper Cub pode fazê-lo em velocidades de vento muito mais razoáveis.

Em suma, não.

Primeiro, a asa de uma aeronave é projetada para produzir sustentação em apenas uma direção. O fluxo de ar se movendo para trás sobre o aerofólio não seria direcionado adequadamente; o ar que atravessava o que deveria ser a borda traseira seria dividido de maneira muito limpa (para que pudesse parar com muita facilidade) e não seria acelerado tão rapidamente pela inclinação mais suave do que deveria ser o lado de trás da asa, reduzindo assim lift. A borda principal, agora a borda posterior, aumentaria o arrasto e reduziria ainda mais a sustentação, pois a camada limite se separaria muito cedo ao longo de sua curva. Em outras palavras, uma asa que se move para trás produz muito pouca sustentação e muito mais arrasto, ambos ruins para um avião que tenta ficar no ar.

Além disso, a maioria das aeronaves movidas a hélice tem os acordes das asas inclinados levemente para cima em relação ao vetor de empuxo do motor, o que fornece um ângulo de ataque diferente de zero em vôo nivelado. Isso proporciona mais sustentação ao custo de um arrasto um pouco mais alto e permite que um avião mantenha a altitude mais facilmente em velocidades de cruzeiro com o nível do nariz. No "vôo" reverso, isso resultaria em um ângulo de ataque negativo, reduzindo ainda mais a sustentação.

Por fim, o estabilizador horizontal é projetado para fornecer força descendente no vôo para frente para neutralizar um centro de gravidade ligeiramente para frente (esse projeto básico causa um comportamento desejável de estol, fazendo com que o avião se incline para baixo para restaurar o fluxo de ar normal). Isso é realizado em asas baixas, com um ligeiro ângulo descendente do estabilizador horizontal (ou um ligeiro ângulo ascendente em relação às canards) e em asas altas, usando a lavagem descendente da asa para empurrar a cauda. Movendo-se para trás, não há lavagem para equilibrar o peso no nariz, e uma inclinação para baixo empurrava ativamente a cauda para cima à medida que o vento passava, em ambos os casos, lançando o avião em uma atitude de nariz para baixo (também um comportamento de recuperação desejável se você se encontra pendurado no seu suporte).

Em uma escolha estelar de engenharia feita pelos projetistas de aeronaves, eles orientam a curva das asas e ajustam os estabilizadores horizontais para produzir força de compensação de elevação e equilíbrio quando a aeronave está se movendo na direção que seus ocupantes chamariam de "avanço", ou seja, a direção o assento do piloto está voltado.

Existem algumas aeronaves, especialmente projetos soviéticos tardios, como o MiG-29 e o Su-27, que foram projetados para o comportamento "pós-estol" desejável. Essas aeronaves são capazes de permanecer estáveis ​​e controláveis ​​em ângulos extremos de ataque (excedendo o acorde excêntrico 90 °) e são os melhores exemplos de aeronaves que podem "voar para trás", pelo menos por alguns segundos. As manobras envolvidas incluem a deslize (puxe para a vertical, empurre o nariz para cima e volte para a terra com a cauda primeiro, depois puxe a bengala para chutar a cauda para trás e solte o nariz para se recuperar) e o cobra (a aceleração máxima, desligue o motor e ative difícil para parar intencionalmente a aeronave e girar o nariz para cima, depois centralize o manche para permitir que o avião se incline para baixo). A maioria das aeronaves americanas equivalentes é incapaz dessas manobras, pois são projetadas para evitar a estagnação, seguindo a teoria do "gerenciamento de energia" das manobras de combate ocidentais (onde a estagnação, independentemente da velocidade do ar, significa que você está sem energia para manobrar, como você tenha velocidade no ar para a frente insuficiente para manter sua curva ou você acabou de transformar as asas do seu avião em freios pneumáticos).

Quando, quando jovem, fiz modelos de aviões, tentei isso. O resultado é muito instável e geralmente a cauda se eleva no lançamento, fazendo com que a aeronave vire. Eu acho que, com o uso do controle do computador para combater a instabilidade inerente e uma hélice feita especialmente, pode ser possível, mas o tempo e as despesas de desenvolvimento significam que ninguém jamais tentaria fazê-lo.

O problema é que a montagem da cauda de uma configuração padrão atua como um cata-vento. Naturalmente, quer se afastar da direção do fluxo de ar.

Em teoria, sim, ineficiente, muito, muito instável, com as superfícies de controle voltadas para o fluxo de ar, e não por trás dele, o que representa um grande risco de o fluxo de ar pegar os controles e forçá-los a viajar completamente - com resultados muito ruins. O avião gostaria de dar meia-volta e voar na direção oposta por causa da maneira como foi projetado para voar para frente.

Existe uma relação entre o impulso fornecido pelo motor e o elevador criado pelo perfil das asas. Normalmente, essa relação não é a mesma para trás, portanto, não voará para trás.

Aviões de hélice como o P-51 têm um perfil aerodinâmico assimétrico que não pode fornecer o mesmo elevador se movendo para trás.

Existem alguns perfis aerodinâmicos que estão quase simétricos, mas requerem uma usina muito maior que uma hélice. Normalmente, essa usina não pode fornecer o mesmo impulso para trás do que para frente.

Se o impulso reverso foi gerado (você não poderia fazer isso simplesmente invertendo o suporte), um avião poderia voar para trás.

Enquanto as asas são moldadas para gerar sustentação à medida que passam pelo ar na direção para a frente, usando o ângulo de ataque e o impulso suficiente, você pode gerar sustentação em qualquer direção. Ângulo de ataque altera o perfil aparente da asa. O mesmo princípio permite que os aviões voem de cabeça para baixo ou de lado na borda da faca. O exemplo mais simples é como um avião de papel ainda pode deslizar com asas completamente planas.

Não.

Tente andar de bicicleta para trás, descendo uma colina íngreme, se você não tiver certeza do que os outros escritores aqui querem dizer com estabilidade passiva de pitch e estabilidade de guinada.

A razão pela qual a cauda grande e os elevadores estão bem atrás do meio das asas é garantir que, ao voar para a frente, eles tenderão a endireitar qualquer oscilação.

Vá ao pub e veja como os dardos voam, se quiser. Você pode tentar jogar um desses para trás também.

Você não precisa de impulso reverso para fazer isso. Apenas puxe o nariz para cima e deixe a velocidade diminuir até que a velocidade vertical seja zero. Então você deslize. A maioria dos aviões é projetada para tornar isso não muito fácil de fazer, mas se você mover o CG para trás o suficiente, colocando tijolos na cauda, ​​poderá fazê-lo.

O problema é que, a menos que seu avião seja especialmente fabricado e você seja treinado especialmente, você terá um tempo muito difícil, não apenas deslizando até o chão (e anulando a garantia).