Um resultado possivelmente surpreendente é que até mesmo aviões tão diferentes quanto um Cessna 152 e um Boeing 747, se forem capazes de voar com a mesma velocidade nas mesmas condições, usariam a mesma altitude pivotante. A velocidade do avião e a aceleração devido à gravidade são os únicos fatores que determinam a altitude crucial. Derivações detalhadas por John S. Denker e by ERAUSpecialVFR (13:57 YouTube) estão incluídos abaixo.
A fórmula exata para a altura acima do poste é
$$ h = \ frac {v_ {ar} \ cdot v_ {gnd}} {g} $$
onde $ v_ {air} $ e $ v_ {gnd} $ são velocidades relativas à ar e terra, e $ g $ é a aceleração devido à gravidade da Terra. Isso mostra que a aproximação comum da velocidade em quadratura em quadratura é o caso especial do dia calmo.
Supondo que queremos saber $ h $ em pés, precisamos conectar os blocos de construção, ou seja, as unidades de medida, apropriadamente. Dado que $ g $ é 32.17405 ft / s² (que está acelerando em 32-ish feet por segundo a cada segundo), a velocidade compatível também será denominada em ft / s . Para ver por que, você pode pensar nas unidades como canceladas, como em
\ frac {\ frac {\ textrm {ft} ^ 2} {\ textrm {s} ^ 2} \ equiv v ^ 2} {\ frac {\ textrm {ft}} {\ textrm {s} ^ 2} \ equiv g} \ Rightarrow \ frac {\ textrm {ft} ^ 2} {\ textrm {s} ^ 2} \ cdot \ frac {\ textrm {s} ^ 2} {\ textrm {ft}} \ Rightarrow \ textrm {ft} $$
Pelo menos nos aviões que eu vôo, o indicador de velocidade no ar exibe nós ou milhas por hora. O fator de conversão de nós para pés por segundo é $ \ frac {6 {,} 076} {3 {,} 600} $ porque há 6.076 pés em um náutico milha e 3.600 segundos por hora. Para milhas de estátua a pés por segundo, o fator é $ \ frac {5 {,} 280} {3 {,} 600} $ . Lembre-se de que a fórmula da altitude pivotada possui dois fatores de velocidade, portanto, devemos ajustar o fator de conversão.
Estamos perseguindo o denominador, então use os recíprocos dos fatores de conversão acima para obter
$$ d_ {mph} = 32.17405 \ \ textrm {ft} / \ textrm {s} ^ 2 \ cdot \ Biggl (\ frac {3 {,} 600 \ \ textrm {s / hr}} {5 {,} 280 \ \ textrm {ft / SM}} \ Biggr) ^ 2 \ aproximadamente 14.9569 \ \ textrm {mph} ^ 2 / \ textrm {ft} $$
e
$$ d_ {kts} = 32.17405 \ \ textrm {ft} / \ textrm {s} ^ 2 \ cdot \ Biggl (\ frac {3 {,} 600 \ \ textrm {s / hr}} {6 {,} 076 \ \ textrm {ft / NM}} \ Biggr) ^ 2 \ aproximadamente 11.2947 \ \ textrm {nós} ^ 2 / \ textrm {ft} $$
Aceite recíprocos para obter informações mais claras sobre o que está acontecendo. No caso de nós, $ \ frac {1} {11.3} $ está em torno de 0.0885 pés por nós ao quadrado. Isso significa aproximadamente o mesmo que 9 pés por nós ganhos ou perdidos, por 100 nós (porque 9 ≈ 0.0885 × 100). Da mesma forma, para as milhas estatutárias, a altitude pivotante muda cerca de 7 pés por mudança de velocidade do ar por mph, por 100 mph que o avião está percorrendo. Em ambos os casos, dados dois aviões em que um está voando duas vezes mais rápido que outro, uma unidade de velocidade do ar obtida para o mais rápido terá o dobro do impacto em sua altitude pivotal quando comparado com o seu homólogo mais lento.
5. Derivation of the Nifty Formula
We wish to derive the nifty formula for the altitude required during a turn on pylon in the presence of wind. We will be using the following quantities:
- $R$, horizontal position vector, from pylon to aircraft
- $h$, height above the base of the pylon
- $V_{Gnd}$, velocity relative to the ground
- $V_{Air}$, velocity relative to the air
- $W$, wind vector = constant, independent of time
- $a$, acceleration vector = derivative of $V_{Gnd}$
- or (equivalently) = derivative of $V_{Air}$
- $g$, acceleration of gravity
Assumption: We assume constant $\lvert V_{Air}\rvert$ i.e. constant airspeed.
The velocity relative to the air, $V_{Air}$, is perpendicular to $R$. That is, $$V_{Air} \cdot R = 0 \tag{4}\label{eq4}$$ This is required by the rules of the game. The heading is perpendicular to $R$ because the wing is pointing at the pylon, and the airspeed vector is parallel with the heading because we require coordinated flight (zero slip).
The acceleration $a$ is antiparallel to $R$. This is required by the rules of the game, since the wing is pointing at the pylon. That means the horizontal component of lift is pointing at the pylon. Meanwhile, all other forces add up to zero in accordance with the constant-airspeed assumption. Because $a$ is antiparallel to $R$, we have:
$$a \cdot R = −\lvert a\rvert \lvert R\rvert \tag{5}\label{eq5}$$
We will be interested in what happens to all these quantities after some time $\Delta t$ has passed. Time-stepping the equations of motion gives us: $$ \begin{align} \textrm{new}\ V_{Air} & = \textrm{old}\ V_{Air} + a\Delta t \ \textrm{new}\ R & = \textrm{old}\ R + V_{Gnd} \Delta t \end{align} \tag{6}\label{eq6} $$
Combining equation $\eqref{eq6}$ with equation $\eqref{eq4}$ gives us the time-delayed version of equation $\eqref{eq4}$:$$(V_{Air} + a \Delta t) \cdot (R + V_{Gnd} \Delta t) = 0 \tag{7}\label{eq7}$$
Multiplying out equation $\eqref{eq7}$ gives us: $$0 = V_{Air}\cdot R + a\cdot R\Delta t + V_{Gnd}\cdot V_{Air}\Delta t + a \cdot V_{Gnd}(\Delta t)^2 \tag{8}\label{eq8}$$ The first term vanishes in accordance with equation $\eqref{eq4}$. The second term reduces to $\lvert a\rvert \lvert R\rvert \Delta t$ because of equation $\eqref{eq5}$. The fourth term is negligible in the limit of small $\Delta t$.
Rearranging the remaining parts of equation $\eqref{eq8}$ gives $$\lvert a\rvert = \frac{V_{Air} \cdot V_{Gnd}}{\lvert R\rvert} \tag{9}\label{eq9}$$ This tells us the magnitude of the acceleration. The direction is antiparallel to $R$ as mentioned [elsewhere]. So now $a$ is fully determined, since we know its direction and magnitude.
As usual, when the aircraft is properly banked toward the pylon, the geometry of the situation is shown in figure 3 [shown below]. In this geometry, the law of similar triangles tells us $$\lvert a\rvert = \frac{h}{\lvert R\rvert} g \tag{10}\label{eq10}$$
Combining equation $\eqref{eq9}$ and equation $\eqref{eq10}$ gives us the nifty expression for the required height at any point during a turn on a pylon:$$h = \frac{V_{Air} \cdot V_{Gnd}}{g}\tag{11}\label{eq11}$$ You can readily verify that this reduces to the conventional expression for the pivotal altitude in the no-wind case.
Physics of Flight - Pivotal Altitude - Lesson 6 by ERAUSpecialVFR
Figure created with Khan Academy$\sum F_y = 0 \Rightarrow L \cos\theta = mg$
$\sum F_x = ma_c \Rightarrow L \sin\theta = \frac{mv^2}{R}$ (centripetal force)
$\frac{L\sin\theta}{L\cos\theta} = \frac{\frac{mv^2}{R}}{mg} \Rightarrow \tan\theta = \frac{v^2}{Rg}$
$\tan\theta = \frac{h}{R} = \frac{v^2}{Rg} \Rightarrow h = \frac{v^2}{g}$
$\therefore PA = \frac{GS^2}{g}$
$\begin{aligned} PA = \frac{GS^2}{g} &= \frac{\left[\left(1\frac{\textrm{nm}}{\textrm{hr}}\right)\left(\frac{1.15\ \textrm{sm}}{1\ \textrm{nm}}\right)\left(\frac{5{,}280\ \textrm{ft}}{1\ \textrm{sm}}\right)\left(\frac{1\ \textrm{hr}}{3{,}600\ \textrm{s}}\right)\right]^2}{32.2\ \textrm{ft}/\textrm{s}^2}{} \ &= \frac{(1.68)^2}{32.2} = \frac{2.845}{32.2} = \frac{1}{11.3} \ &\Rightarrow PA = \frac{GS^2}{11.3} \end{aligned}$
